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等腰三角形数学周测试卷
一、选择题（共14小题；共42分）
1. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”，应先假设这个直角三角形中
A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于
C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于
2. 如图所示，一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔 海里的 处，该海轮沿南偏东 方向航行 海里后，到达位于灯塔 的正东方向的 处．
A. B. C. D.
3. 如图，三角形纸片 中，，在 上取一点 ，以 为折痕进行翻折，使 的一部分与 重合， 与 延长线上的点 重合，若 ，，则 的长度为
A. B. C. D.
4. 如图，已知 中，，若以点 为圆心， 长为半径画弧，交腰 于点 ，则下列结论一定正确的是
A. B.
C. D.
5. 如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ，，，则 的周长为
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，， 于点 ，如果 ，，那么 的值为
A. B. C. D.
7. 如图，点 ， 是边长为 的等边 边 ， 上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ，连接 ， 交于点 ，则在 ， 运动的过程中，下列结论错误的是
A.
B. 的度数不变，始终等于
C.
D. 有可能为直角三角形
8. 如图，在三角形纸片 中，，，，将 沿 折叠，使点 与点 重合，则折痕 的长为
A. B. C. D.
9. 如图，过边长为 的等边 的边 上一点 ，作 于 ， 为 延长线上一点，当 时，连 交 边于 ，则 的长为
A. B. C. D. 不能确定
10. 如图，，点 为 ， 的中点，，，则 长为
A. B. C. D.
11. 如图，在 中，， 的平分线相交于 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，那么下列结论正确的是
① ， 都是等腰三角形；② ；
③ 的周长为 ；④ ．
A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④
12. 如图，已知 是等边三角形，点 上任意一点，， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为
A. B. C. D.
13. 如图，在 中，，，， 分别是 ，， 上的点，且 ，，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
14. 如图，四边形 中，，点 关于 的对称点 恰好落在 上，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共18分）
15. 用反证法证明“三角形中最多只有一个钝角或直角”的第一步应假设 ．
16. 如图，在 中， 垂直平分 ，交 ， 分别于 ，，连接 ， 平分 ，交 于 ，若 ，，则 度．
17. 如图，在等腰 中，，点 在 的延长线上，且 ，，，则 和 间的关系为 ．
18. 三个等边三角形的位置如图所示，若 ，则 ．
19. 等腰 的底边上高 与底角平分线 交于点 ，， 为垂足，若线段 ，则线段 ．
20. 已知一张三角形纸片 （如图甲），其中 ．将纸片沿过点 的直线折叠，使点 落到 边上的 点处，折痕为 （如图乙）．再将纸片沿过点 的直线折叠，点 恰好与点 重合，折痕为 （如图丙）．原三角形纸片 中， 的大小为 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
21. 如图，在 中，已知 ，， 与 的平分线交于点 ，试说明 是等腰三角形的理由．
22. 如图，， 分别为 ， 的中点， 于点 ， 于点 ．求 的度数．
23. 设 ，， 是不全相等的任意实数，若 ，，，求证：，， 中至少有一个大于 ．
24. 如图，在四边形 中，， 为 的中点，连接 ，，延长 交 的延长线于点 ．
（1） 和 全等吗?说明理由．
（2）若 ，说明 ．
（3）在（）的条件下，若 ，，，你能否求出 到 的距离?如果能请直接写出结果．
25. 已知：如图，在 中， 为 上的一点， 平分 ，且 ，．求证：．
26. 如图， 为等腰直角三角形，，，点 在线段 上，连接 ，，，过 作 ，且 ，连接 ，交 于 ．
（1）求 的面积；
（2）证明：．
27. 如图，， 分别是 的边 ， 上的点，且 ，．
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，，你能由（1）和（2）中的结果找到 与 之间的关系吗?请说明理由．
答案
第一部分
1. D 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，应先假设每一个锐角都大于 ．
2. B
3. B
4. C
5. D
【解析】，
，
平分 ，
，
，
，
同理可证得 ，
，，
，
即 的周长为 ．
6. A
7. C
8. D
9. B
10. D
【解析】，，
，
，
设 ，则 ，
在 和 中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
11. C
12. C 【解析】提示：连接 ，利用 .
可知 等于等边三角形的高．
13. D 【解析】，
，
在 中，
，
，
，
，
，
14. D
第二部分
15. 三角形中至少有两个钝角或直角
16.
【解析】 垂直平分 ，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
平分 ，
，
．
17.
【解析】 在等腰 中，，
，
，
，
，
，
，
．
18.
【解析】
图中是三个等边三角形，，
，
，
.
，
.
．
19.
20.
【解析】设 ，
，
，
由折叠性质可知：，，，
，，
，
，
，
，
，
．
第三部分
21. 平分 ，
，
又 ，，
，，
，
又 ，
，
是等腰三角形．
22. 连接 ．
， 分别为 ， 的中点， 于点 ， 于点 ，
，
为等边三角形．
．
．
23. 假设 ，， 都小于或等于 ．则 ．
因为 ．
又因为 ，， 是不全相等的任意实数，所以 ，， 中至少有一个不为 ，所以 ．这与 矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．
24. （1） 理由如下：
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
是 的中点（已知），
（中点的定义）．
在 与 中，
．
（2） 由（）得 ，
，（全等三角形的对应边相等），
为 中点，即 是 中 边上的中线，
，
，
（三线合一）．
（3） 到 的距离等于 ．
【解析】，，
，
，
到 的距离等于 ．
25. 平分 ，
．
在 和 中，
．
．
又 ，
．
．
26. （1） 在 中，
，，
，
，
，
，
．
（2） 在 上取一点 ，使得 ，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
．
27. （1）
（2）
（3）
因为 ，，
所以 ，．
又 ，
即 ，得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
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