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《立体几何初步》测试题和答案
《立体几何初步》测试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
2. 若∥，，则的位置关系是（ ）
A.异面直线 B.相交直线
C.平行直线 D.相交直线或异面直线
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形

4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是
一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边
长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（　　）
A 48　　 B 64　　 C 96　　 D 192

5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．都不对

6. 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）
A 　　　 B 　　　　 C 　　　　 D

7. 若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则

G

8. 如图，在正方体中，
分别为，，，的中点，则异面直线与
所成的角等于（　　）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°

9. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

10. 平面与平面平行的条件可以是（ ）
A.内有无穷多条直线与平行； B.直线a//,a//
C.直线a,直线b,且a//,b// D.内的任何直线都与平行

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为
菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD
为 _ ____，面积为______cm2．

12. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 ．

A
B
C
P
13. 已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为 .

14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿

15. 如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形

16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD； （2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。
其中正确结论的序号为＿＿＿＿

三、解答题（本大题共4小题，共60分）

17.（10分）如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC
P
A
B
C

18.（10分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值　。.

P
E
D
C
B
A
19. （12分）在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.

20. （14分）如图，为所在平面外一点，平面，，于，于
求证：（1）平面；
（2）平面；
（3）平面．

21. （14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

《立体几何初步》测试题参考答案
1-5 DDABB 6-10 DCBCD
11. 矩形 8 12.
13. 平行或在平面内；
14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，
设棱长是

15. 4　 16. （1）（2）（4）
17. 证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC ，得AD⊥平面PBC，故AD⊥BC，
　　　　　又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB
18. 连接， 为异面直线与所成的角.
连接，在△中，，
则.
19.(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
(2) 因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
20.证明:(1)∵平面，∴，∵，∴，
又 ∴平面.
(2)∵平面且平面，∴，又∵，且，∴平面.
(3)∵平面，∴，又∵，且，∴平面．
21. 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
由AB2=AE·AC 得
故当时，平面BEF⊥平面ACD.

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