常微分方程习题答案.doc

习题2.2
求下列方程的解
1．=
解： y=e (e)
=e[-e()+c]
=c e- ()是原方程的解。
2．+3x=e
解：原方程可化为：=-3x+e
所以：x=e (e e)
=e (e+c)
=c e+e 是原方程的解。
3．=-s+
解：s=e(e)
=e()
= e()
= 是原方程的解。
4． ， n为常数.
解：原方程可化为：

是原方程的解.

5．+=
解：原方程可化为：=-
()

= 是原方程的解.
6．
解：
=+
令 则 =u
因此：=

（*）
将带入 （*）中 得：是原方程的解.

13

这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以，

令

P(x)= Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式

=

14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以 令

P（x）= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式

=
=

15

这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)=
由一阶线性方程的求解公式

=
=

16 y=+

P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式

=
=

c=1
y=
17 设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)
试求此函数。
令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或
（1） 当时 即
∞,∞)
(2) 当时 =
==
=
于是 变量分离得 积分
由于，即t=0时 1=c=1
故
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.
证明：（2.28）
（2.3）
（1） 设，是（2.28）的任意两个解
则 （1）
（2）
（1）-（2）得

即是满足方程（2.3）
所以，命题成立。
（2） 由题意得：
（3）
（4）
1）先证是（2.28）的一个解。
于是 得

故是（2.28）的一个解。
2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式
设是(2.28)的一个解
则 （4’）
于是 （4’）-（4）得

从而
即
所以，命题成立。
（3） 设，是（2.3）的任意两个解
则 （5）
（6）
于是（5）得
即 其中为任意常数
也就是满足方程（2.3）
（5）（6）得

即
也就是满足方程（2.3）
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；
解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为
即 横截距为 ，
纵截距为 。
由题意得：
（5）
方程变形为

于是

所以，方程的通解为。
（6）
方程变形为

于是

所以，方程的通解为。
22．求解下列方程。
（1）
解：

=
=
=

（2）

P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式

=
=
=