普通版基于mathematica软件下的微积分数学实验指导.doc

普通版基于mathematica软件下的微积分数学实验指导

微积分数学实验

前 言

20世纪50年代以来, 由于科学技术尤其是计算技术的飞速发展, 计算机已广泛地应用到自然科学以及工程技术的各个领域. 各种各样的数学软件的相继问世, 为科学家和工程技术人员处理数学问题提供了强有力的工具. 掌握这些工具并学会将其应用到各个相关领域成为当代大学生必须具备的一种重要的能力. 这就直接影响了我们教及学的方式方法.
数学实验是介于古典演绎法和古典试实验法之间的一种科学研究方法, 它既非数学在通常实验中的应用, 也不是实验在数学研究中的移植. 数学实验是随着人类思维、数学理论和计算机等现代科学技术发展而形成的独特的研究方法. 在大学数学课程中引入数学实验教学的重要意义在于: 它把“讲授+记忆+测验”的传统学习模式, 变成“直觉+试探+出错+思考+猜想+证明”的现代教学模式, 将信息的单向交流变成多向交流,有利于培养的学生的创新能力和实践能力; 它将数学直观、形象思维及逻辑思维结合起来, 有利于培养学生运用数学知识、借助计算机手段来解决实际问题的综合能力和素质.
为配合我校微积分课程同步进行数学实验教学的需要, 我们编写了微积分数学实验指导, 共设计了四个实验项目, 设计教学时数为10学时,设计课堂教学时数共计为10学时. 其中每个实验项目中包含若干个基础实验和综合实验, 内容包括三个部分; 第一部分为基础实验部分, 主要熟悉基本命令、基本功能、基本计算; 第二部分为综合实验部分, 选编了若干个结论开放的问题, 它们都来自实际, 都有真正的应用, 取材非常广泛, 而且非常有趣; 第三部分为实践训练部分, 要求学生每3人一个小组, 在课后的三周内提交一份实验报告, 报告内容包括两个方面: 一是运用第一部分所学知识解决一些基本的数值计算及符号计算问题; 二是运用所学数学知识及利用Mathematica软件为综合实验中提出的开放性问题给出一个解决方案, 力求通过这些问题的解决过程, 培养学生的创新意识和创新能力, 逐步熟悉科学研究的基本过程和基本方法. 实验指导书以简明实用、快速深入的风格编写, 而在书后的学习系统光盘中设计了实验交互演示系统和实验案例库, 案例库中设计了型丰富的实验案例供读者参考.
在教学软件的选择方面,我们选择了Mathematica软件,因为该软件在数值计算、图形表示和符号运算等方面都是强有力的工具. 它的命令句法简单, 并且具有惊人的一致性,这个特性使得Mathematica很容易使用, 从而使其成为国内外大学数学实验教学中常用的一种教学软件.
Mathematica涉及的数学及计算机知识十分广泛, 读者大都会有既被吸引而又望而生畏的感觉.这里我们要提醒读者, 在学习Mathematica的过程中, 不必像学习数学及计算机基础课那样逐字逐句地认真推敲. 可先全面了解一下它的基本功能, 然后通过认真阅读本书中的案例去学习具体的操作方法和技巧, 一般情况下, 能模仿着使用就够了.

Mathematica入门

一、引 言
Mathematica是美国Wolfram公司开发的一个功能强大的数学软件系统,它主要包括:数值计
算、符号计算、图形功能和程序设计. 本指导书力图在不大的篇幅中给读者提供该系统的一个简
要的介绍. 指导书是按Mathematica 4.0版本编写的, 但是也适用于Mathematica的任何其它图形
界面的版本.
Mathematica在数值计算、符号运算和图形表示等方面都是强有力的工具,并且其命令句法惊
人地一致, 这个特性使得Mathematica很容易使用.不必担心你还不太熟悉计算机.本入门将带你
迅速了解Mathematica的基本使用过程, 但在下面的介绍中,我们假定读者已经知道如何安装及启动Mathematica. 此外,始终要牢记的几点是:
l Mathematica是一个敏感的软件. 所有的Mathematica函数都以大写字母开头;
l 圆括号( ),花括号{ },方括号[ ]都有特殊用途, 应特别注意;
l 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊用途, 应特别注意;
l 用主键盘区的组合键Shfit+Enter或数字键盘中的Enter键执行命令.

二、一般介绍
1. 输入及输出
例1 计算 1+1:在打开的命令窗口中输入
1+2+3
并按组合键Shfit+Enter执行上述命令,则屏幕上将显示:
In[1] : =1+2+3
Out[1] =6
这里In[1] : = 表示第一个输入,Out[1]= 表示第一个输出,即计算结果.

2. 数学常数
Pi 表示圆周率; E表示无理数e; I 表示虚数单位i;
Degree表示/180; Infinity表示无穷大.
注:Pi,Degree,Infinity的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.

3. 算术运算
Mathematica中用“+”、“-”、“*”、“/” 和“^”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和
乘方.
例2 计算 .
输入 100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi
则输出
这是准确值. 如果要求近似值,再输入
N[%]
则输出 10.543
这里%表示上一次输出的结果,命令N[%]表示对上一次的结果取近似值. 还用 %% 表示上
上次输出的结果,用 %6表示Out[6]的输出结果.
注:关于乘号*,Mathematica常用空格来代替. 例如,x y z 则表示x*y*z,而xyz 表示字符
串,Mathematica将它理解为一个变量名. 常数及字符之间的乘号或空格可以省略.

4. 代数运算
例3 分解因式
输入 Factor[x^2+3x+2]
输出
例4 展开因式
输入 Expand[(1+x)(2+x)]
输出
例5 通分
输入 Together[1/(x+3)+2/(x+2)]
输出
例6 将表达式 展开成部分分式
输入 Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]
输出
例7 化简表达式
输入 Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]
输出

三、函数
1. 内部函数
Mathematica系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个
字母都必须大写,后面的字母必须小写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都
必须大写,其余的字母必须小写. Mathematica函数(命令)的基本格式为
函数名[表达式,选项]
下面列举了一些常用函数:
算术平方根 Sqrt[x]
指数函数 Exp[x]
对数函数 Log[a,x]
对数函数 Log[x]
三角函数 Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x]
反三角函数 ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x],
ArcCot[x], AsrcSec[x], ArcCsc[x]
双曲函数 Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x],
反双曲函数 ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x]
四舍五入函数 Round[x] (*取最接近x的整数*)
取整函数 Floor[x] (*取不超过x的最大整数*)
取模 Mod[m,n] (*求m/n的模*)
取绝对值函数 Abs[x]
n的阶乘 n!
符号函数 Sign[x]
取近似值 N[x,n] (*取x的有n位有效数字的近似值,当n缺省时,n的默认值
为6*)

例8 求的有6位和20位有效数字的近似值.
输入 N[Pi] 输出 3.14159
输入 N[Pi, 20] 输出 3.1415926535897932285
注:第一个输入语句也常用另一种形式:
输入 Pi//N 输出 3.14159

例9 计算函数值
(1) 输入 Sin[Pi/3] 输出
(2) 输入 ArcSin[.45] 输出 0.466765
(3) 输入 Round[-1.52] 输出 -2
例10 计算表达式 的值
输入 1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6]
输出 0.274921

2. 自定义函数
在Mathematica系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空
格或标点符号.
变量的赋值有两种方式. 立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使用
的符号是延迟赋值运算符“: =”.
例11 定义函数 ,并计算,,.
输入
Clear[f,x]; (*清除对变量原先的赋值*)
f[x_]:=x^3+2*x^2+1; (*定义函数的表达式*)
f[2] (*求的值*)
f[x]/.{x->4} (*求的值,另一种方法*)
x=6; (*给变量立即赋值6*)
f[x] (*求的值,又一种方法*)
输出
17
97
289
注:本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.

四、解方程
在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“==”表示. 最基本的求解方程的命令为
Solve[eqns, vars]
它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns表示方程(组),vars表示所求未知变量.
例12 解方程
输入 Solve[x^2+3x+2==0, x]
输出
例13 解方程组
输入 Solve[{a x + b y == 0,c x + d y ==1}, {x,y}]
输出
例14 解无理方程
输入 Solve[Sqrt[x-1]+ Sqrt[x+1] == a, x]
输出
很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解. 求方程的近似解的方法有两种,
一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于
求方程(组)数值解的命令:
NSolve[eqns, vars] (*求代数方程(组)的全部数值解*)
FindRoot[eqns, {x, x0}, {y, y0}]
后一个命令表示从点出发找方程(组)的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大
致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.
例15 求方程的近似解
输入 NSolve[x^3-1== 0, x]
输出 {{-0.5-0.866025ii},{-0.5+0.866025ii},{1.}}
输入 FindRoot[x^3-1==0,{x, .5}]
输出 {1.}

下面再介绍一个很有用的命令:
Eliminate[eqns, elims] (*从一组等式中消去变量(组)elims*)
例16从方程组 消去未知数y、z.
输入
Eliminate[{x^2+y^2+z^2 ==1,
x^2+(y-1)^2 + (z-1)^2 ==1, x + y== 1},{y, z}]
输出
注:上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行及行
隔开, 来迫使Mathematica从前一行继续到下一行在执行该语句. 有时候多行语句的意义不太明
确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“\”,
来迫使Mathematica继续到下一行再执行该语句.

五、保存及退出
Mathematica 很容易保存Notebook中显示的内容,打开位于窗口第一行的File菜单,点击Save
后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为 *.nb文件. 如果只想保存全部
输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中Delete All Output,然后
再执行保存命令. 而退出Mathematica及退出Word的操作是一样的.

六、查询及帮助
查询某个函数(命令)的基本功能,键入“?函数名”,想要了解更多一些,键入“??函数名”,例如,
输入
?Plot
则输出
Plot[f,{x,xmin,xmax}] generates a plot of f as a function
of x from xmin to xmax. Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}] plots several functions fi
它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.
例17 在区间上作出抛物线的图形.
输入 Plot[x^2,{x,-1,1}]
则输出

例18 在区间上作出及的图形.
输入 Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]
则输出

如果输入
??Plot
则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.
此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项Help
Browser(帮助游览器)是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单
去学习.

实验一 一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识及理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析
函数的有关特性及变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法及技巧.

基本命令
1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot:
Plot[f[x],{x,min,max},选项]
Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入
Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]
则输出在区间上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高及宽之比为1. 如
果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0]
使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0及1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作
图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.
Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式{f1[x],f2[x],…}
代替f[x].
2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:
ParametricPlot[{g[t],h[t]},{t,min,max},选项]
其中是曲线的参数方程. 例如,输入
ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]
则输出单位圆的图形.
3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot
如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入
<<Graphics`Graphics`
执行以后, 可使用PolarPlot命令作图. 其基本格式为
PolarPlot[r[t],{t,min,max},选项]
例如曲线的极坐标方程为要作出它的图形. 输入
PolarPlot[3 Cos[3 t], {t,0,2 Pi}]
便得到了一条三叶玫瑰线.
4. 隐函数作图命令ImplicitPlot
这里同样要先打开作图软件包, 输入
<<Graphics\ImplicitPlot.m
命令ImplicitPlot的基本格式为
ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项]
例如方程确定了y是x的隐函数. 为了作出它的图形, 输入
ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==x^2-y^2,{x,-1,1}]
输出图形是一条双纽线.
5. 定义分段函数的命令Which
命令Which的基本格式为
Which[测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,…]
例如, 输入
w[x_]=Which[x<0,-x,x>=0,x^2]
虽然输出的形式及输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:

现在可以对分段函数求函数值, 也可作出函数的图形.

实验举例

初等函数的图形
例1.1 作出指数函数和对数函数的图形.
输入命令
Plot[Exp[x],{x,-2,2}]
则输出指数函数的图形.

输入命令
Plot[Log[x],{x,0.001,5},PlotRange->{{0,5},{-2.5,2.5}},AspectRatio->1]
则输出对数函数的图形.

注①：PlotRange->{{0,5},{-2.5,2.5}}是显示图形范围的命令. 第一组数{0,5}是描述x的, 第二组数{-2.5,2.5}是描述y的.
注②：有时要使图形的x轴和y轴的长度单位相等, 需要同时使用PlotRange和AspectRatio两个选项. 本例中输出的对数函数的图形的两个坐标轴的长度单位就是相等的.
例1.2 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势.
为了比较, 我们把它们的图形放在一个坐标系中. 输入命令
Plot[{Sin[x],Csc[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi},
PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLeve1[0.5]}, AspectRatio->1]

注：PlotStyle->{GrayLeve1[0],GrayLeve1[0.5]}是使两条曲线分别具有不同的灰度的命令.
例1.3 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势.
输入命令
Plot[{Tan[x],Cot[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi},
PlotStyle->{GrayLeve1[0],GrayLeve1[0.5]},AspectRatio->1]

例1.4 将函数的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系.
输入命令
p1=Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}];
p2=Plot[Sin[x],{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->GrayLeve1[0.5]];
px=Plot[x,{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->Dashing[{0.01}]];
Show[p1,p2,px,PlotRange->{{-Pi/2,Pi/2},{-Pi/2,Pi/2}},AspectRatio->1]

则可以看到函数和它的反函数在同一个坐标系中的图形是关于直线对称的.
注 Show[…]命令把称为p1,p2和px的三个图形叠加在一起显示. 选项PlotStyle->Dashing[{0.01}]使曲线的线型是虚线.

例1.5 (教材 例1.1) 给定函数

(a) 画出在区间上的图形;
(b) 画出区间上及的图形.
输入命令
f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2);
g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];
则输出在区间上的图形.

输入命令
g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]];
Show[g1,g2];
则输出区间上及的图形.

注: Show[…]命令把称为g1及g2二个图形叠加在一起显示.

例1.6 在区间画出函数的图形.
输入命令
Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}];
则输出所求图形，从图中可以看到函数在附近来回震荡.

二维参数方程作图

例1.7 作出以参数方程所表示的曲线的图形.
输入命令
ParametricPlot[{2 Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},
AspectRatio->Automatic]
则可以观察到这是一个椭圆.

注 在ParametricPlot命令中选项AspectRatio->Automatic及选项AspectRatio->1是等效的.
例1.8分别作出星形线和摆线 的图形.
输入命令
ParametricPlot[{2 Cos[t]^3,2 Sin[t]^3},{t,0,2 Pi},AspectRatio->Automatic]
ParametricPlot[{2*(t-Sin[t]),2*(1-Cos[t])},{t,0,4 Pi},AspectRatio->Automatic]
则可以分别得到星形线和摆线的图形.

例1.9 画出参数方程的图形：
输入命令
ParametricPlot[{Cos[5 t]Cos[t],Sin[t]Cos[3t]},{t,0,Pi},
AspectRatio->Automatic];
则分别输出所求图形.

例1.10 (教材 例1.2) 画出以下参数方程的图形.
(1) (2)
分别输入以下命令:
ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t],5Sin[-11/5t]+7Sin[t]},
{t,0,10Pi},AspectRatio->Automatic];
ParametricPlot[(1+Sin[t]-2 Cos[4*t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},
AspectRatio->Automatic,Axes->None];
则分别输出所求图形.

例1.11 作出极坐标方程为的曲线的图形.
曲线用极坐标方程表示时, 容易将其转化为参数方程. 故也可用命令ParametricPlot[…]来作极坐标方程表示的图形.
输入命令
r[t_]=2*(1-Cos[t]);
ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]
可以观察到一条心脏线.

极坐标方程作图
例1.12 (教材 例1.3) 作出极坐标方程为的对数螺线的图形.
输入命令
<<Graphics`
执行以后再输入
PolarPlot[Exp[t/10],{t,0,6 Pi}]
则输出为对数螺线的图形.

隐函数作图
例1.13 (教材 例1.4) 作出由方程所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).
输入命令
<<Graphics\ImplicitPlot.m
执行以后再输入
ImplicitPlot[x^3+y^3==3x*y,{x,-3,3}]
输出为笛卡儿叶形线的图形.

分段函数作图

例1.14 分别作出取整函数和函数的图形.
输入命令
Plot[Floor[x],{x,-4,4}]
可以观察到取整函数的图形是一条阶梯形曲线.

输入命令
Plot[x-Floor[x],{x,-4,4}]
得到函数的图形, 这是锯齿形曲线（注意: 它是周期为1的周期函数.）

例1.15 作出符号函数的图形.
输入命令
Plot[Sign[x],{x,-2,2}]
就得到符号函数的图形. 点是它的跳跃间断点.

一般分段函数可以用下面的方法定义. 例如，对本例输入
g[x_]: = -1/; x<0;
g[x_]: = 0/; x=0;
g[x_]: = 1/; x>0;
Plot[g[x],{x,-2,2}]
便得到上面符号函数的图形. 其中组合符号“/；”的后面给出前面表达式的适用条件

例1.16 (教材 例1.5) 作出分段函数的图形.
输入命令
h[x_]:=Which[x<=0,Cos[x],x>0,Exp[x]]
Plot[h[x],{x,-4,4}]
则输出所求图形.

注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.
例1.17 (教材 例1.6) 作出分段函数的图形.
输入命令
f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;
f[x_]:=0/;
x=0;
Plot[f[x],{x,-1,1}];
则输出所求图形.

函数性质的研究
例1.18 研究函数在区间上图形的特征.
输入命令
Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}];
则输出所求图形. 由图形容易看出, 从左到右, 图形渐渐上升. 因而是增函数.

例1.19 判断函数是否为周期函数.
任选一个较大的范围, 如取, 在此区间上画出函数的图形如图所示.
Plot[Sin[2Pi x]+Cos[2Pi x],{x,-4,4}];
可以看出函数的图形以某一宽度以单位重复出现.

例1.20 判断函数的反函数的存在性. 若存在, 求反函数的表达式, 并画出起图形.
先解方程 求x. 输入命令
Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x];
因此, 所求反函数为 再输入命令
Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}];
则输出反函数在区间内的图形.

注：若一个函数满足: 一个y对应着一个x, 则其反函数一定存在,且在表达式中将y换成常量求解x, 即将所的表达式中y换成x, x换成y即得到反函数的表达式.

实验习题
1. 把正切函数和反正切函数的图形及其水平渐近线和直线
用不同的线型画在同一个坐标系内.
2. 作出双曲正切函数的图形.
3. 输入以下命令
Plot[{Sin[x],Sin[2 x],Sin[3 x]},{x,0,2 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],
RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]
理解选项的含义.
4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:
Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.01}]}]
Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]
Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-5,5}]
Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5}]
5. 观察函数的叠加, 输入以下命令:
a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]
a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}]
a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]
Show[a1,a2,a3]
6. 分别用ParametricPlot和PolarPlot两种命令, 作出五叶玫瑰线的图形.
7. 用ImplicitPlot命令作出椭圆的图形.
8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.
PolarPlot[Cos[t/2],{t,0,4 Pi}]
PolarPlot[1-2 Sin[5 t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[t/4],{t,0,8 Pi}]
PolarPlot[t*Cos[t],{t,0,8,Pi}]
PolarPlot[t^(-3/2),{t,0,8 Pi}]
PolarPlot[2 Cos[3 t],{t,0,Pi}]
PolarPlot[1-2 Sin[t],{t,0,2 PI}]
PolarPlot[4-3 Cos[t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Sin[3 t]+Sin[2 t]^2,{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[3 Sin[2 t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[4 Sin[4 t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[3 t]^2,{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[4 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi},PlotRange->All]

实验2 极限及连续（基础实验）

实验目的 通过计算及作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用
Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形
特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.

基本命令
1.画散点图的命令ListPlot:
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]
或者
ListPlot[{y1,y2,…yn},选项]
前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列的散点图;后一形式的命令,
默认自变量依次取正整数作出点列为的散点图.
命令ListPlot的选项主要有两个:
(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来;
(2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小.
2.产生集合或者数表的命令Table:
命令Table产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入
Table[j^2,{j,1,6}]
则产生前6个正整数的平方组成的数表
{1,4,9,16,25,36}.
3.连加求和的命令Sum:
命令Sum大致相当于求和的数学符号∑. 例如, 输入
Sum[1/i,{i,100}]//N
执行后得到的近似值.
及Sum类似的还有连乘求积的命令Product.
4. 求函数多次自复合的命令Nest:
例如, 输入
Nest[Sin,x,3]
则输出将正弦函数自己复合3次的函数
Sin[Sin[Sin[x]]]
5.求极限的命令Limit:
其基本格式为
Limit[f[x],x->a]
其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用
x->Infinity.
对于单侧极限, 通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向.
求右极限, 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1];
求左极限, 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1];
求时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];
求时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。
注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a .

实验举例

作散点图
例2.1 (教材 例2.1) 分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图.
分别输入命令
t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];
g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
则分别输出所求图形.

例2.2 画出前25个素数的散点图.
输入命令
Table[Prime[n],{n,25}];
ListPlot[Table[Prime[n],{n,25}],PlotStyle->PointSize[0.015]];
则分别输出所求图形.

数列极限的概念

例2.3 观察数列的前100项变化趋势.
输入命令
t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]];
ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.015]];
则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于1.

下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果.
m=2;xn=0;
For[i=1,i<=1000,i+=50,If[Abs[xn-1]>10^(-m),xn=N[n^(1/n),20]]];
Print[i, " ",xn];
设该数列收敛于不妨取下面考察及A的接近程度. 输入以下Mathematica语句.
u = 10^9(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt[3];
While[Abs[A-an] >= 10^(-m), n++; an = N[n^(1