人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(学生版).doc

平面向量基本定理与坐标运算

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1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
4.了解平面向量的基本定理及其意义.

一、平面向量基本定理：
1．平面向量基本定理：_____________________________________________________________
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二、平面向量的坐标表示：
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………，
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
三、平面向量的坐标运算：
（1） 若，，则=______________，
= _______________
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
∥ (¹)的充要条件是

类型一　平面向量基本定理的应用
【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.
练习：1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A．与— B．3与2 C．＋与— D．与2
2．在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且
,试 用表示.

类型二　平面向量的坐标运算
【例2】►(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=
4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；

类型三　平面向量共线的坐标运算
【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)．
A. B.
C. D.
9．已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？

一、选择题
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
2．下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；
③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．给出下列结论：①若a≠b，则|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有(　　)个．(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
5．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为(　　)
A．＝＋λ B．＝λ＋(1＋λ)
C．＝ D．＝＋
6．(2014·广东文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝(　　)
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
7．若向量＝(2,3)、＝(4,7)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　)
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
9．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是(　　)
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
10．已知△ABC中，点A(－2,3)、点B(－3，－5)，重心M(1，－2)，则点C的坐标为(　　)
A．(－4,8) B．
C．(8，－4) D．(7，－2)
11．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
12．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．
13．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.
14．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
15．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
三、解答题
16．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1、e2表示、、.

17．(1)设向量a、b的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐标；
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐标．

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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
2．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝(　　)
A．13 B．－13
C．9 D．－9
3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
4．设e1、e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线，则(　　)
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tanα＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b与向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2，则b＝(　　)
A．(4,2) B．(－4,2)
C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)
二、填空题
7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为________．
8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
三、解答题
9．设向量＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．
能力提升
一、选择题
1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
二、填空题
5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
6．已知点A(，1)、B(0,0)、C(，0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于________．
三、解答题
7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，
求证：∥.
9．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

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