基本初等函数知识点.doc

指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算
（一）根式的概念
1、如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时， 的 次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
2、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当 为偶数时，．
3、根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．
（二）分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
2、正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
3、a0=1 (a ¹0) a-p = 1/ap (a¹0；pÎN*)
4、指数幂的运算性质

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义；
注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．
三、指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
定义
0
1
函数且叫做指数函数
图象

0
1

定义域

值域
（0,+∞）
过定点
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
y＞1(x＞0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＞0)
变化对
图象影响
在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴．
在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；
在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当
（3）对于指数函数，总有
（4）当时，若，则
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法（1）比差（商）法：
（2）函数单调性法；
（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=34,y2=35
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=（1/2）4,y2=34,
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较
　①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.

对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明：① 注意底数的限制，且；
②；
③注意对数的书写格式．
两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数；
② 自然对数：以无理数为底的对数的对数．
指数式与对数式的互化
幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
① ·＋； －；
． ④
⑤ ⑥
⑦ loga1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b=b
注意：换底公式
（，且；，且；）．
推论(利用换底公式)
①； ②．
二、对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
② 对数函数对底数的限制：，且．
三、对数函数的图像和性质：
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
在第一象限内，越大，图象越靠近x轴
在第四象限内，越大，图象越靠近y轴
在第一象限内，越小，图象越靠近x轴
在第四象限内，越小，图象越靠近y轴
四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

反函数
一、反函数定义
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
二、反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
三、反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
二、幂函数的图象

三、幂函数的性质
1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；
②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2、过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
3、单调性：①如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．
②如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
4、奇偶性：⑴当为奇数时，幂函数为奇函数，
⑵当为偶数时，幂函数为偶函数．
⑶当（其中互质，和），
①若为奇数为奇数时，则是奇函数，
②若为奇数为偶数时，则是偶函数，
③若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
5、图象特征：幂函数，
⑴当时，①若，其图象在直线下方，
②若，其图象在直线上方，
⑵当时，①若，其图象在直线上方，
②若，其图象在直线下方．

练习题