高考文科数学试题考点3导数.doc

高考文科数学试题考点3-导数
高考试题分类汇编：3:导数
一、选择题
1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是

【答案】C，【解析】由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时,选C.
2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数

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A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b

【答案】A ，【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．
3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D.，【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.
4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为
（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）
【答案】B，【解析】故选B
【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。
5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.
其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
12.【答案】C．
【解析】，令则或，当时；当时；当时，
所以时有极大值，当时有极小值，函数有三个零点，，且，又，，即，因此，.故选C.
6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8
【答案】C
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标及直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
二、填空题
7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
【答案】
【解析】函数的导数为，所以在的切线斜率为
，所以切线方程为，即.
8..【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像及轴围成的图形的面积为
【答案】。【解析】，∴
∴围成的面积=+=。
三、解答题
9.【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)及曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；
当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
【答案】

10.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
【答案】解：（1）由，得。
∵1和是函数的两个极值点，
∴ ，，解得。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得。
∵当时，；当时，，
∴是的极值点。
∵当或时，，∴ 不是的极值点。
∴的极值点是－2。
（3）令，则。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。
当时，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
① 当时， ，于是是单调增函数，从而。
此时在无实根。
② 当时．，于是是单调增函数。
又∵，，的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当时，，于是是单调减两数。
又∵， ，的图象不间断，
∴在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当时，有两个不同的根满足；当 时
有三个不同的根，满足。
现考虑函数的零点：
( i ）当时，有两个根，满足。
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。
( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。
而有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。
11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
【答案】

12.【2012高考广东文21】设，集合，，.
（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.
【解析】（1）令，。
① 当时，，
方程的两个根分别为，，
所以的解集为。
因为，所以。
② 当时，，则恒成立，所以，
综上所述，当时，；
当时，。
（2）， 令，得或。
① 当时，由（1）知，
因为，，
所以，
所以随的变化情况如下表：

0

↗
极大值
↘
↗
所以的极大值点为，没有极小值点。
② 当时，由（1）知，
所以随的变化情况如下表：

0

0

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值点为，极小值点为。
综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；
当时，有一个极大值点，一个极小值点。
13.【2102高考福建文22】已知函数且在上的最大值为，
（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
【答案】

14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线及轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较及的大小，并说明理由。
命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题及解决问题的能力和创新意识，考查函数及方程、数形结合、分类讨论、化归及转化由特殊到一般等数学思想
【解析】

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.
【答案】解：令.
当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
令则

令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数及方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
16【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．
【解析】（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ，化简得解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，得当时，故在上为增函数；
当 时， 故在 上为减函数
当 时 ，故在 上为增函数。
由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为
18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）
设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.
（1）求a,b的值；（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x)< .
【答案】

【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化及划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.
19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数
（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。
【解析】（I）（方法一），
当且仅当时，的最小值为。

（II）由题意得：， ①
， ②
由①②得：。
20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.
（1）求a的取值范围；（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。
【答案】
【解析】

21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)设，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ） (Ⅱ)当时，
【答案】

22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数
（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.
【解析】（1）由题意得，
当时，恒成立，此时的单调递增区间为.
当时，，此时函数的单调递增区间为.
(2)由于，当时，.
当时，.
设，则.则有

0

1

-
0
+

1
减
极小值
增
1
所以.
当时，. 故.
23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线及轴的交点在曲线上，求的值。

24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线及x轴平行.
(Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.
【答案】(I)，由已知，，∴.
(II)由(I)知，.
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.
当时，＞1，且，∴.
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值.
所以.
综上，对任意，.
25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分）
设函数
（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，，，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围；
【答案】

【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性及最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。