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中考数学复习专题 代数式

一. 教学目标：
1. 复习整式的有关概念，整式的运算
2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。
3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。
4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
二. 教学重点、难点：
因式分解法在整式、分式、二次根式的化简及混合运算中的综合运用。
三.知识要点：
知识点1 整式的概念

（1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；
（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；
多项式的次数是多项式中最高次项的次数；
（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号
（4）同类项概念的两个相同及两个无关：
两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；
两个无关：一是及系数的大小无关，二是及字母的顺序无关；
（5）整式加减的实质是合并同类项；
（6）因式分解及整式乘法的过程恰为相反。

知识点2 整式的运算 （如结构图）
知识点3 因式分解
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用
写出结果．
（3）十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足
a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则
（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
（5）求根公式法：如果有两个根x1，x2，那么。
知识点4 分式的概念
（1）分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
（2）分式的约分
（3）分式的通分
知识点5 分式的性质
（1）（2）已知分式，分式的值为正：a及b同号；分式的值为负：a及b异号；分式的值为零：a＝0且b0；分式有意义：b0。
（3）零指数
（4）负整数指数
（5）整数幂的运算性质
上述等式中的m、n可以是0或负整数．
知识点6 根式的有关概念
1. 平方根：若x2＝a（a>0），则x叫做a的平方根，记为。
注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；
2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；
3. 立方根：若x3＝a（a>0），则x叫做a的立方根，记为。
4. 最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。
知识点7 二次根式的性质
①是一个非负数； ②
③ ④
⑤
知识点8 二次根式的运算
（1）二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．
（2）二次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

例题精讲

例1. 如果单项式及的和①为0时，a、m、n各为多少？ ②仍为一个单项式，a、m、n各为多少？
解：① ②
a为有理数
例2. 因式分解：（1） （2） （3）－2x2＋5xy＋2y2　　
解：①原式＝m（2x＋3y）（2x－3y）
②原式
③令
∴ ∴
原式＝－2（x－）（x－）
例3. （1）已知的结果中不含项，求k的值；
（2）的一个因式是，求k的值；
解：（1）a2的系数为：3k－2＝0 ∴k＝
（2）当a＝－1时（－1）3－（－1）2＋（－1）＋k＝0 ∴k＝3
例4. 利用简便方法计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的值，
你能确定积的个位数是几吗？
解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）
＝264－1 ∵264的个位数为6 ∴积的个位数字为5
例5. x为何值时，下列分式的值为0?无意义？
（1） （2）
解：当①x＝2 ②x＝1 时为零 当③x＝－2 ④x＝2，x＝－1时分式无意义
例6. 分式的约分及通分
1. 约分： 2. 通分，，
解：①原式＝ ②,,
例7. 先化简后再求值：，其中
原式＝×＋
＝＋＝
当x＝＋1时，原式＝1
例8. 若最简二次根式是同类二次根式，求a的值。
解：1＋a＝4a2－2＝0, a1＝1 ， a2＝－
例9. 已知:a＝,求值
解：∵a＝ ∴a＝2－＜1
原式＝＋1 ＝－（a－1）＋1 ＝－a＋1＋1＝－a＋2
当a＝时，a＝2－,
∴原式＝－2－－2＋＋2＝－2
例10. 把根号外的因式移到根号内：
（1）； （2）； （3）； （4）
解：（1）原式＝ （2）原式＝ （3）原式＝ （4）原式＝
例11. 观察下列各式及其验证过程
2。验证：
3。验证：
根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证。
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式,并给出证明。
解：（1）
（2）

课后练习

一. 选择题
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 把a2－a－6分解因式，正确的是（ ）
A. a（a－1）－6 B. （a－2）（a＋3） C. （a＋2）（a－3） D. （a－1）（a＋6）
3. 设（x＋y）（x＋2＋y）－15＝0,则x＋y的值是（　　）
A. －5或3 B. －3或5 C. 3 D. 5
4. 不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5的值（　　）
A. 大于或等于0 B. 0 C. 大于0 D. 小于0
5. 化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 当1<x<2时，化简∣1－x∣＋的结果是（ ）
A. －1 B. 2x－1 C. 1 D. 3－2x
二. 填空题
8. 矩形的面积为6x2＋13x＋5（x＞0），其中一边长为2x＋1，则另一边为　　　　　。
9. 对于分式，如果x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值
10. 若x2＋kx－6有一个因式是（x－2），则k的值是 ;
11. 的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。
12. 的倒数是 ；的绝对值是 。的有理化因式是 ，的有理化因式是 。
三. 计算及解答题
13. 三角形某一边等于，第二边比第一边小（），而第三边比第一边大（），这个三角形周长为多少？

14. ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC三边，利用因式分解说明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符号

15. 实数范围内因式分解
（1）ｘ2－2ｘ－4　　　（2）4ｘ2＋8ｘ－1　　　（3）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ2

16. 已知 x2－5xy＋6y2＝0 求的值

17. 试求函数ｔ＝2－的最大值和最小值。
练习答案

试题答案
一. 选择题。
1~5 CCADB 6~7DC

二. 填空题。
8. 3x＋5
9. 是原来的
10. 1
11. , 3,－4
12.

三. 解答题
13. 2a＋b－（）＝2a＋ 2a＋b＋（）＝2a＋
（2a＋b）＋（2a＋b－2）＋（2a＋）＝6a＋3b－4
14. 原式＝b2－（a－c）2＝（b＋a－c）（b－a＋c）＞0
15. （1）原式＝（x－1－）（x－1＋）
（3）原式＝2（x－）（x－）
（2）原式＝4（x－）（x－）
16. 解：（x－2y）（x－3y）＝0
∴x＝2y或x＝3y
当x＝2y时，
当x＝3y时，
17. 解：t＝2
∵ 0≤－3（x－2）2＋3≤3
∴t最大值＝2，t最小值＝

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