中考数学中二次函数压轴题分类总结.docx

二次函数的压轴题分类复习
一、抛物线关于三角形面积问题
例题 二次函数的图象，其顶点坐标为M(1，).
（1）求出图象及轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线及此图象有两个公共点时，的取值范围.

练习：
1. 如图．平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段交y轴及点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
y
x

O
B
N
A
M
E
F
（3）点F为线段上的一个动点（不及O、B重合），直线 及抛物线交及M、N两点（点N在y轴右侧），连结、，当点F在线段上运动时，求的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；

2. 如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线的解析式；
（2）设（）是直线上的一点，Q是的中点（O是原点），以为对角线作正方形．若正方形及直线有公共点，求x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形及△公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

二、抛物线中线段长度最小问题
例题 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝2＋＋c(a≠0)及x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知1，C为抛物线及y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△＝4S△，求点P的坐标；

②设点Q是线段上的动点，作⊥x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值．

练习：
1. 如图， △的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△是由△沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l．求l及t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

三、抛物线及线段和最小的问题
例题 如图，已知抛物线及x轴交于点B、C，及y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，直接写出点H的坐标．

练习：
1. 如图，已知二次函数的图象及坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
x
O
A

B
y
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△的周长最小．请求出点P的坐标．

2. 如图，抛物线y = 2 + + 4及x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），及y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段的中点，的垂直平分线及x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线上求一点H，使△的周长最小，并求出H的坐标；
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△的面积最大？并求出最大面积．

四、抛物线及等腰三角形
例题：已知抛物线y＝2＋＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：
1. .如图，抛物线及x轴交于A、B两点，及y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段上的任意一点，当△为等腰三角形时，求M点的坐标．

2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接、、，线段交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段上的一个动点（不及点O、B重合），直线及抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接、．
①当△为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△ 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，及y轴交于点C（0，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

五、抛物线及直角三角形
例题 如图，抛物线经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：
1. 如图，在平面直角坐标系中，△是直角三角形，∠90，，1，4，抛物线2经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

2 如图，抛物线y＝2―2―3m(m＞0)及x轴交于A、B两点， 及y轴交于C点.
（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）经探究可知，△及△的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明由.
x
M
A
B
C
y
O

六、抛物线及四边形
例题 1. 如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使＋的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
O
A
B
C

2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线及二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上.
（1）二次函数的解析式为 ；
（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上；
（3）若C为线段的中点，过C点作轴于E点，及二次函数的图像交于D点.
① y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是 ；
②二次函数的图像上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

练习：
1. 如图，抛物线及y轴交于A点，过点A的直线及抛物线交于另一点B，过点B作⊥x轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线的函数关系式；
O
x
A
M
N
B
P
C

（2）动点P在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，的长度为s个单位，求s及t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P及点O，点C重合的情况），连接，，当t为何值时，四边形为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形是否菱形？请说明理由.

2. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如果点P由点A出发沿边以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设().
①试求出S及运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

3. 如图，已知抛物线及x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，及y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

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