广东高考文科数学精美word版逐题详解.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）逐题详解
【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周
参考公式:椎体的体积公式,其中表示椎体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,,则( )
A . B． C． D．
【解析】A；易得,,所以,故选A．
2．函数的定义域是( )
A . B． C． D．
是
否
输入

输出
结束
开始
第5题图

n

【解析】C；依题意,解得且,故选C．
3．若,,则的模是( )
A . B． C． D．
【解析】D；依题意,所以,
所以的模为,故选D．
4．已知,那么 ( )
A . B． C． D．
【解析】C；由诱导公式可得,故选C．
正视图
侧视图
俯视图
第6题图
5．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值是 ( )
A . B． C． D．
【解析】C；第一次循环后:；第二次循环后:；
第三次循环后:；循环终止,故输出,选C.
6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )
A . B． C． D．
【解析】B；由三视图可知该三棱锥的底面积为,高为,
所以,故选B.
7．垂直于直线且及圆相切于第一象限的直线方程是( )
A . B． C． D．
【解析】A；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为,故选A．
8．设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A . 若,,则 B．若,,则
C．若,,则 D．若,,则
【解析】B；ACD是典型错误命题,选B．
9．已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,在椭圆的方程是 ( )
A . B． C． D．
【解析】D；依题意,,所以,从而,,故选D．
10．设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
① 给定向量,总存在向量,使；② 给定向量和,总存在实数和,使；
③ 给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使；
④ 给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使.
B
O

A
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A . B． C． D．
【解析】B；考查平面向量基本定理,成立的有①②,故选B．说明:对于④,比
如给定和,就不一定存在单位向量和单位向量,使.
对于③,给定单位向量和正数,可知的方向确定,的模确定,如图
时,等式不能成立.
二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分
(一)必做题(11～13题)
11．设数列是首项为,公比为的等比数列,则________．
x
y
1
3
O

1
A
B
C
【解析】；依题意,所以.
12．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
【解析】；求导得,依题意,所以.
13. 已知变量满足约束条件,则的最大值是____.
【解析】；画出可行域如图所示,其中取得最大值时的点为,且最大值为.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系及参数方程选讲选做题)已知曲线的极坐标方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为_____________.
【解析】(为参数)；曲线的普通方程为,即,圆心为,半径,所以曲线的参数方程为(为参数).
A
E
D
C
B
第15题图
15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形中,,,
,垂足为,则_________.
【解析】；依题意,在中,由射影定理可得,
,所以(也可以由得到),在中,由余弦定理可得
,所以.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数,.
(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若,,求．
【解析】(Ⅰ)；
(Ⅱ) 因为,,所以,
.
17．（本小题满分13分）
从一批苹果中,随机抽取个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)

频数(个)

(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在的频率；
(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取个,其中重量在的有几个?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有个的概率.
【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在的频率为；
(Ⅱ) 抽样比为,所以重量在的有个.
(Ⅲ) 设抽取的个苹果中,重量在的为,重量在中的为.从中任取个,包含的基本事件有:,共个；满足重量在和中各有个的基本事件为,共个.所以所求概率为.
18．（本小题满分13分）
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
F
D
E
G
图1
图2
如图1,在边长为的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,及交于点,将沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.

(Ⅰ) 证明:平面；
(Ⅱ) 证明:平面；
(Ⅲ) 当时,求三棱锥的体积.
【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图中,因为,,所以,所以；
由翻折的不变性可知,在图中,,因为平面,平面
所以平面,同理可证平面,又,所以平面平面
又平面,所以平面.
方法二:在图中,由翻折不变性可知,,所以,所以,
因为平面,平面,所以平面.
(Ⅱ) 在图中,因为,,,所以
又,,所以平面.
(Ⅲ) 因为,由(Ⅱ)知平面,所以平面,所以平面,
依题意可得,,
所以,所以三棱锥的体积.
20．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列的前项和为,满足,,且、、构成等比数列.
（Ⅰ）证明:；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明:对一切正整数，有.
【解析】（Ⅰ）在中令,可得,而,所以.
（Ⅱ）由可得().
两式相减,可得,即,因为,所以,
于是数列把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.
由、、成等比数列可得,即,解得,
由可得,于是,
所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以.
（Ⅲ）因为,
所以.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程；
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根及系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
21．（本小题满分14分）
设函数.
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
【解析】(Ⅰ) 当时, ,
因为,所以在上恒成立,所以在上单调递增.
所以的单调递增区间为,无递减区间.
(Ⅱ) ,判别式
x
y
O
k
1
x1
x2
当,即时, 在上恒成立,所以在上单调递增.
所以在上的最小值,最大值；
当,即时,令得,.
因为的对称轴为,且恒过,
画出大致图像如图所示,可知,
当变化时,,的变化如下表:

极大值

极小值

由表可知,,.
因为,所以.
因为,
所以.
综上所述,当时，函数在上的最小值，最大值.

有错难免,不吝赐教
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