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大学高等数学第二册复习资料
高等数学第二册
第七章 空间解析几何及向量代数
在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线及曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程
难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。
（一）
1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当，，的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。
2．空间向量可以从两个途径来认识：
①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量及起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，等。
②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标及点坐标这两个概念，一般情况下，设的始点的坐标分别为，，则，即向量的坐标及向量的起点及终点的坐标间有下列关系：
，，。因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。
当向量的起点及坐标系的原点重合时，向量的坐标及向量的终点的坐标在数值上相等。
3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。
4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。如：平面方程，则为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵活处理。点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。
5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和及直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。空间直线的标准式方程及参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。
6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：

椭球面方程
，当或或时为旋转椭球面，当时，为球面方程。
双曲面方程

锥面方程

抛物面方程
，其中
柱面方程
，母线平行于轴的柱面方程
，母线平行于轴的柱面方程
旋转面方程
母线

（二）
1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。
设向量，其中投影轴为，点，在轴上的投影分别为，，若取及轴同方向的单位向量为，则有称为在轴上的投影。因此向量在轴上的投影不是有向线段，而是一个数值，记为，易知，其中为及轴的夹角。
2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。
3．向量的数量积，向量积一览表：

定义

，其中是同时垂直于，的单位向量，且，，按右手系排列
坐标表示
，

，

特征性质

即

即
几何应用
点到平面的距离为，(*1)，其中为平面的单位法向量，是上的任一点，当时，(*1)式给出动点所满足的平面的方程。
点到直线的距离为，(*2)，其中为直线上的单位向量，是直线上的任一点。当时，(*2)式给出动点所满足的直线的方程。
4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。
5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于，，的一次方程。反之，任何一个关于，，的一次方程都表示一个平面。
6．平面及平面、直线及直线、平面及直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量及直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。
7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。
8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的。
9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示。参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量，，分别可以表示成参数的函数。
10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数。简单的参数方程消去参数后可化得普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。
（三）
1．三个向量相乘有混合积和双重向量积，其中双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的几何意义，即当，，不共面时，的绝对值等于，，为棱的平行六面体的体积。因此利用混合积可以解决求一类体积的问题。
2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论。
3．混合积的坐标表示及特征性质
设，，，则
，，，共面。
4．在学习曲面及空间曲线时，应注意两点：
① 空间曲面方程的定义及平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程的点的集合。
② 要充分理解空间曲线一般方程的定义。 这里强调用通过空间曲线的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。若由方程和表示的两个曲面，除去曲线：上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用表示它们交线的方程。但要注意，联立任意的两个曲面方程，它们可能不表示任何空间曲线，例如，从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。

第八章 多元函数微分法及其应用学习指导
一、知识脉络

二、重点和难点
1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。
2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。
三、问题及分析
1．及仅当前者存在时，才相等。
2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系
极限

连续

偏导数存在

可微

3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均及一元函数中相应内容和结论对应。
4．二重极限及二次极限是本质不同的两个概念。
(1) 当动点沿任意路径趋于时，若都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当，先后相继地趋于，时的极限为二次极限。
(2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。
例如：，容易验证两个二次极限，但是不存在。
(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。
例如：，因为在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当时，有。由于有界变量及无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得，对任意给定的，由于，而不存在，所以不存在。因此先对后对的二次极限不存在。同理也不存在。
5．学习二次极限应注意以下三个问题：
(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。
例：，则，。
(2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。
例：，容易验证
，而不存在。
(3) 两个二次极限都可以不存在。
例：。容易验证
及都不存在。
6．学习多元复合函数的求导应注意的问题：
求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。
例如：，，
z

u

v

y

x

画出“树形图”
则

7．学习方向导数应注意的问题
(1) 是单侧极限。因为，所以实际上是。
(2) 是双侧极限。时，可正、可负，因此时，及不一定相等，时，及也不一定相等。
(3) 梯度是一个向量，当的方向及梯度方向相同时，方向导数达到最大值。
8．最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。
四、解题示范
例1：求
解：原式
一般地，用定义证明二重极限不存在有二种途径：
(1) 找到两条特殊的途径，得出沿这两条途径趋于时，的极限值不等；
(2) 找到一条特殊的途径证明沿此途径趋于时，的极限不存在。
例2：求
解：当动点沿趋于时，则

当动点沿趋于时，则

故原极限不存在。
例3：求当，时的全微分。
解：因，
，
故。
例4：求的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数。
解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图”

u=f

x(1)

xy(2)

xyz(3)

x

y

z

故

例5：求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。
解：

，，
因为

所以
例6．设，，取，作为新自变量，试变换方程。
解：，

故
即
7．设由确定，求。
解：由两边对求导：

从而 (1)
原式两边对求导

从而 (2)
(1)式两边对求导

将(2)代入得：

第九章 重积分学习指导
一、知识脉络

二、、重点和难点
1．重点：求二重积分、求三重积分
2．难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三次积分
三、问题及分析
1．重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；
2．计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；
3．二重积分的几何意义：①当时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积；②当时，的面积；
4．二重积分的物理意义：当表示平面薄片的面密度时， 表示的质量；
5．三重积分的物理意义：当表示空间立体的体密度时，表示的质量。
四、计算二重积分时，应注意的问题
1．选系：当积分区域是圆域或圆域的一部分，被积分函数含有或两个积分变量之比，时，一般可选用极坐标系来计算；
2．选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对哪个变量积分较好；
3．积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的正确配合，例如当积分区域关于轴对称时，应配合被积函数关于的奇偶性；
4．特例：当被积分函数的变量可分离，并且积分区域为两邻边分别及两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可化为两个定积分的乘积。
五、解题示范
例1： 改变二次积分的积分次序。
解：积分区域：改写为：
故。
例2：计算，其中是由直线及抛物线所围成的区域。
解：积分区域为：，于是

注意：如果先对后对积分，此时为，于是。
由于的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，故本积分不能按此次序。
例3：计算，其中为。
解：用极坐标，此时为：
于是
注：如用直角坐标，则由于不能用初等函数表示，积分就难以进一步计算。
例4：计算，其中为平面，，，所围成的四面体。
解：积分区域为，于是
原式

。
例5：求，其中是由曲面及所围成的区域。
解：积分区域为，于是
原式

例6：求，其中由不等式，所确定。
解：直角坐标变换为球面坐标，于是为
故原式

。

第十章 曲线积分及曲面积分学习指导

一、内容提要
(一) 对弧长的曲线积分
1．定义：，其中表示第个小弧段的弧长。
2．性质：具有及定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。
3．计算：
(1) 若曲线的界数方程为，()且，在上连续，在上连续，则
。
(2) 若曲线的方程为且在连续，上连续，则
。
(3) 若曲线的极坐标方程为()，且在上连续，在上连续，则
。
(4) 若空间曲线的方程为，，在上连续在上连续，则
。
(二) 对坐标的曲线积分
1．定义：其物理意义是变务沿有向弧段所作的功，即

2．性质：除了及弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性

3．计算：
(1) 若曲线的参数方程为，，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，在或上连续，，在上连续，则

(2) 若曲线的直角坐标方程为，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又在或上连续，则

(3) 若空间曲线的参数方程为，，，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，，在或上连续，则

(三) 格林公式，曲线积分及路径无关的条件
1．格林公式
设和及一阶导数在闭区域上连续，则有

其中分段光滑曲线是区域的正向边界。
2．四个等价命题
若，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则在内下列四个命题相互等价：
(1) 曲线积分及路径无关，其中是中分段光滑曲线；
(2) 沿中任一分段光滑闭曲线有。
(3) 对内的任一点有。
(4) 在内存在一函数使，则有

3．两种曲线积分之间的关系其中，是上任一点方向上的切向量的方向余弦。
(四) 对面积的曲面积分
1．定义：，其中()是曲面块上的第个块的面积。
物理意义是密度的曲面块的质量当时为面积。
2．计算
若曲面可用单值函数表示设为在平面上的投影区域，则

若曲面的方程为单值函数若，设和为在平面和平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：

或
(五) 对坐标的曲面积分
1．定义：

其中表示的第子块在平面上的投影，，含义类似。
物理意义：设流体密度为1，流速为，则单位时间内流进有向曲面指定一侧的流量为

2．计算
若曲面的方程为，则(当为曲面的上、下侧时分别取正、负号)
类似地，若曲面的方程为则(当为曲面的前、后侧时分别取正、负号)
若曲面的方程为则(当为曲面的右、左侧时分别取正、负号)
3．两类曲面积分的关系

其中，，是有向曲面上点处的法向量的方向余弦。
(六) 高斯公式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，函数、、在上是有一阶连续偏导数，则

其中中的整个边界的外侧。
(七) 斯托克斯公式
设为分段光滑的有向空间闭曲线，为以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向及的侧符合右手法则，函数、、在包含曲面在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数，则有

(八) 通量及散度、环量及流量
设向量场通量(或流量) ，其中为上点处的单位法向量。
散度：
对坐标的曲面积分及的形状无关的充要条件是散度为零。
旋度：
环流量：向量场沿有向闭线的环流量为
二、基本要求
(一) 理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分的计算方法；
(二) 掌握第二类曲线、曲面积分及路径、形状无关的条件及其判断方法；
(三) 了解通量及环流量及旋度的概念，并掌握它们的计算方法；
(四) 掌握各类曲线、曲面积分之间的关系；
(五) 掌握曲线、曲面的积分的有关应用(求面积、求曲线段和曲面块的重心坐标等)；
(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。
三、注意的几点
(一) 第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。
(二) 第二类曲线积分及积分曲线的方向有关

第二类曲面积分及曲面空间有关

(三) 第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。
(四) 利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算
面积：。
(五) 利用格林公式时，要注意条件：
1．曲线是闭曲线，录不封闭则应添加曲线使其封闭；
2．函数和在封闭曲线围成的区域内应具有一阶连续偏导数；
3．曲线积分的方向是正向，即逆时针方向。
利用高斯公式时也应注意类似问题。
(六) 有关重心公式
线度的空间曲线的重心公式
，，
面度为的空间曲面的重心坐标
，，。

第十一章　无穷级数学习指导
重点：数项级数、函数项级数的基本概念和基本性质，数项级数收敛性、函数项级数收敛域的讨论，函数的幂级数展开及其应用
难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、一致收敛性的判断，将函数展开为幂级数，求函数项级数的和函数，将周期函数展开为傅里叶级数
（一）
A1 无穷级数是形如的无穷和式, 简称级数。其中称为级数的一般项或通项。若()都是数, 则称级数为数项级数; 若=()，都是定义在某个区间I上的函数, 则称级数为函数项级数。
A2 级数( )的前n项的和:

称为数项级数( 函数项级数 )的部分和。对于数项级数，若
(有限值)，则称级数收敛,并称S为级数的和,记为S=,并称级数为级数第项后的余项。若不存在, 则称级数发散。对于函数项级数，若使函数项级数对应的数项级数收敛(发散)，则称为函数项级数的收敛点(发散点)；一切收敛(发散)点的集合，叫做函数项级数的收敛(发散)域。在收敛域上，记，称为函数项级数的和函数，并称为函数项级数的余项。
A3 数项级数敛散性的判断是本章的重点，容易证明数项级数收敛的必要条件是级数的通项满足，因此若通项不趋于零，则级数必发散。除了定义,以下基本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。
（1） 若收敛，则亦收敛, 且=；
（2） 若及均收敛，则亦收敛, 且=；
（3） 在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数及原级数的敛散性相同；
（4） 收敛级数的各项按规则加括号后所得的级数仍然收敛按某规则加括号后所得的级数发散，则原级数发散；
（5） 柯西收敛原则。
A4 以下几个重要的数项级数，其敛散性已经明确：
(1) 等比级数, 当时收敛,当时发散;
(2) 调和级数发散;
(3) p-级数,当时发散; 时收敛;
(4) 倒阶乘级数收敛.
A5 函数项级数收敛域的讨论也是本章的重点之一。本章我们着重研究两种函数项级数：幂级数和傅里叶级数。幂级数是形如的级数。幂级数的收敛域, 除端点外是关于对称的区间，两端点处是否收敛需单独检验, 其中称为收敛半径。幂级数我们着重讨论的情况，即级数，因为幂级数一般形式可以通过变量替换化为。此级数收敛区间的求法为：先求, 则收敛半径; 再检验两端点处是否收敛, 从而收敛域=收敛的端点。
A6 掌握函数项级数一致收敛的定义及其判别方法，最常用的方法是维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数定义在数集D上，是收敛的正项级数，若对一切有，则一致收敛。其它还有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数，逐项微分或逐项积分运算后的函数项级数，其和函数等于原函数项级数和函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数的幂级数展开中有着重要应用。
（二）
B1 正项级数就是通项的级数。它是数项级数中比较简单的一类级数，其收敛的充要条件是部分和有上界。判断正项级数的敛散性，除了上述收敛的充要条件，还有如下常用方法：
（1） 比较法：
若，而收敛，则收敛；若，而发散，则发散。
比较法的极限形式如下：
若(), 则及同时收敛或同时发散。
在比较法中，正项级数的敛散性常借助于一些已知的正项级数的敛散性来判断。如已知发散，由此推得若(),则发散。又如已知p-级数,当时收敛，由此推得若()，且，则收敛。
（2） 比值法
若,当时，则
（3） 根值法
若当时，则
B2 关于幂级数的代数运算,设及的收敛半径分别为和，则在内有
=；
()()=,
其中 =。
在比可能小得多的区间内有
=
其中 =。
B3 幂级数在其收敛域内还可以进行逐项微分和逐项积分运算,例如在收敛域内，对进行逐项微分可得新的幂级数 ；逐项积分可得新的幂级数。
注1、在收敛域内对幂级数逐项微分或逐项积分后所得新的幂级数，其收敛半径及原级数相同，但在收敛域两端点处的敛散性有可能改变。
注2、逐项微分和逐项积分法是求幂级数的和函数的重要方法。基本思路是对于给定的幂级数，进行逐项微分或逐项积分，将其化为已知其和函数的幂级数。以下幂级数的和函数在计算中经常用到：
；；；；；，
例:求下列幂级数在收敛域内的和函数：
（1）（）；（2）（）
解：（1）因为==，
所以=（）
（2）因为，
所 以=
=（）
(三)
C1 交错级数是形如,()的级数,此类级数敛散性的判别可以借助于以下充分条件:如果,且,则收敛,且其和,其余项。
C2 关于任意项级数的敛散性，我们有如下概念：（1）若收敛，则称绝对收敛。（2）若发散，但收敛，则称条件收敛。容易证明绝对收敛必收敛。判断关于任意项级数的敛散性常借助于A3中所述级数性质（1）～（５）及及已知敛散性的级数（如A4中所列级数）相比较。
C3 将函数展开为幂级数是本章的重点，也是本章的难点。首先要了解函数能展开为幂级数的条件是：若函数在点的某领域内具有任意阶导数，则当且仅当。并且若函数能展开为幂级数：，则，（）。函数展开为幂级数有以下几种：（1）根据定义直接展开：（2）利用已知展开式的函数（如，，，，，），将代展函数化为已知展开式的函数；（3）将代展函数求导或积分，化为已知幂级数展开式的函数，再对展开式逐项积分或逐项微分，即得代展函数的幂级数展开式。
C4 如下形式的函数项级数：，其中系数（），()称为傅里叶级数。若是周期为的周期函数,如果它在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数必收敛。将上述满足收敛条件的周期函数展开为傅里叶级数只需求出傅里叶系数，代入级数展开式即可。欲将定义在上的函数展开为傅里叶级数，须首先对进行周期延拓。对于周期为的周期函数，其傅里叶级数展开式为其中系数（），()。

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