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第二十五章《概率初步》单元测试（及答案）
一、选择题
1、（2006年宿迁市）下列成语所描述的事件是必然事件的是
A．水中捞月 　 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
2、（2OO6年南京）其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（ ）
A. 明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨
B. 明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨
C. 明天本市一定下雨
D. 明天本市下雨的可能性是70%
3、（2006年黄冈）下列说法中不正确得是（ ）
A、为了了解黄冈市所有中小学生的视力情况，可采用抽样调查的方式
B、彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖
C、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
D、12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，取到二等品杯子的概率为
4、（2006年湛江）下列事件是必然事件的是（ ）
A．今年10月1日湛江的天气一定是晴天
B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军
C．当室外温度低于℃时，将一碗清水放在室外会结冰
D．打开电视，正在播广告
5、（2007年常州市）袋中有3个红球，2个白球，若从袋中任意摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6、(2008年桂林)在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50米、100米、50米×2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远，引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项。市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50米×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（　　　）

7、（2007年湘潭市）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（ ）
A．对小明有利 B．对小亮有利 C．游戏公平 D．无法确定对谁有利
8、（2008年十堰）经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空
9、含有四种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后在原样放回，洗匀牌后再抽。不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有 。
10、某校初三（2）班想举办班徽设计比赛，全班50位学生，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出10份为一等奖，那么该班某位同学获一等奖的概率为 。
11、小明把80个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到他们的概率分别是25%、35%、40%，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是
。
12、一个盒子里有四个除颜色外其余都相同的玻璃球，1个红色，1个绿色，2个白色。现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是 。
13、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分。谁先累积到10分，谁就获胜。你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大。
14、在中考体育达标跳绳项目测试中，一分钟跳160次为达标，小敏记录了她预测时1分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，则她在该次预测中达标的概率是
。
三、解答题
15、（2008年锦州）甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置.规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负.请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？(用树状图或列表法解答)
16、（2007年芜湖）阅读以下材料，并解答以下问题．
“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N= m + n种不同的方法，这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理． ”如完成沿图1所示的街道从A点出发向B点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)， 会有多种不同的走法，其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出．
　　(1)根据以上原理和图2的提示， 算出从A出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？
　　(2)运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有多少种?
　　(3)现由于交叉点C道路施工，禁止通行． 求如任选一种走法，从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是多少?

17、一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6，连续投掷两次.
　　(1)用列表法或画树状图法表示投掷两次朝上的面上的数字所有可能出现的结果；
　　(2)将两次朝上的面上的数字分别记为m、n，若把m、n分别作为点P的横坐标和纵坐标，求点P(m，n)在双曲线上的概率.
A
B
C
第18题图
18、在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，
如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层
菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．
（1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球
下落到第三层位置和第四层
位置处的概率各是多少？

19．（2007年沈阳）如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3．
（1）请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；
（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中，画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．
① 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；
② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
解：（1） Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　　Ｃ
第19题图

（2）①树状图：

20、在平面直角坐标系中给定以下五个点A(-2，0)、B(1，0)、C(4，0)、D(-2，)、E(0，-6)，从这五个点中选取三点，使经过三点的抛物线满足以y轴的平行线为对称轴．我们约定经过A、B、E三点的抛物线表示为抛物线ABE．
　　(1)符合条件的抛物线共有多少条？不求解析式，请用约定的方法一一表示出来；
　　(2)在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A、B、C、D、E代表以上五个点，玩摸球游戏，每次摸三个球．请问：摸一次，三个球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率是多少？
　　(3)小强、小亮用上面的五球玩游戏，符合要求的抛物线开口向上，小强可以得1分；抛物线开口向下小亮得5分，你认为这个游戏对两人公平吗？说说你的理由．

答案与提示
1、D
2、D
3、B
4、C
5、C
6、D
7、C
8、C
9、9张
10、
11、20、28、32
12、
13、甲
14、
15、解：裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的.
　　理由：方法一：用列表法得出所有可能的结果如下：
甲
乙
石头
剪子
布
石头
(石头，石头)
(石头，剪子)
(石头，布)
剪子
(剪子，石头)
(剪子，剪子)
(剪子，布)
布
(布，石头)
(布，剪子)
(布，布)
根据表格得，P(甲获胜)=，P(乙获胜）=.
　　∵P(甲获胜)=P(乙获胜)，
　　∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.
　　方法二：用树状图得出所有可能的结果如下：
　　 甲 乙
石头（石头，石头）
石头 剪子（石头，剪子）
布 （石头，布）
石头（剪子，石头）
开始 剪子 剪子（剪子，剪子）
布 （剪子，布）
石头（布，石头）
布 剪子（布，剪子）
布 （布，布）
根据树状图，P(甲获胜)=，P(乙获胜）=.
　　∵P(甲获胜)=P(乙获胜)，
　　∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.
16、解: (1)∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，
　　∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．
　　故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1，
　　答:从A点到B点的走法共有35种．  
（2）方法一: 可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．

　　完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点． 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．
　　∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．

　　方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段．运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种． 从A点到各交叉点的走法数见图4．
　　∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． 
（3）P(顺利开车到达B点)= ．
　　答:任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是．
17、解：(1)列表或画树状图

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(2)在上面的36种可能性中，符合mn=6的共有4种
　　∴点P(m,n)在双曲线y=上的概率为
18、解：方法1：①实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．
画树状图可知，落到点位置的概率为．
②同理可画树状图得，落到点位置的概率为．
③同理可画树状图得，落到点位置的概率为．

1 1 1

A

B

C

方法2：（1）实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性会有以下的途径｛左右，右左｝两种情况，
而下落到第二层，共｛左左，左右，右左，右右｝四种情况
由概率定义得
（2）同理，到达第三层位置会有以下途径｛左右右，右左右，右右左｝三种情况
而下落到第三层共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八种情况
由概率定义得
（3）同理，到达第四层位置会有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四种情况
而下落到第四层共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情况
由概率定义得
方法3：本题也可用贾宪三角方法，先算出小球下落路径条数，如下图．由题意知：小球经过每条路径的可能性相同．

A
B C

由概率定义易得，
，
．
19、．解：（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；
C1是三角形，C2、C3是矩形．　
（2）①补全树状图如下：

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都
相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是＝
②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形
名称相同的概率是＝，即P（小刚获胜）＝
三张卡片上的图形名称完全不同的概率是＝，即P（小亮获胜）＝
∵＞　∴这个游戏对双方不公平．　　
20、解：(1)从A、B、C、D、E五个点中任意选取三点，共有以下10种组合．分别如下：
　　ABC ABD ABE ACD ACE
　　ADE BCD BCE BDE CDE
　　由于A、D所在直线平行于y轴，A、B、C都在x轴上，
　　∴A、D不能在符合要求的同一条抛物线上，A、B、C也不能在符合要求的同一条抛物线上，于是满足约定的抛物线有如下六条抛物线：
ABE ACE BCD BCE BDE CDE
　　(2)摸一次，三球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率为
　　．
　　(3)这个游戏对小强、小亮两人公平．
　　理由：在可以确定的六条抛物线中，通过观察五点位置可知，抛物线BCE开口向下，其余五条开口向上，每摸一次，小强获得分数与小亮获得分数差为：
　　．
　　∴此游戏对两人公平．