八年级数学特殊三角形.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/11/20,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/11/20,#,1.,知识梳理,2.,例题分析,3.,练习巩固,4,拓展延伸,腰,底边,底角,底角,顶角,A,B,C,定义：,有,两条边,相等的三角形,.,性质：,AB=AC,B=C,等腰三角形是,轴对称,图形,D,1,2,AD,BC,BD,=,DC,1,=,2,等腰三角形,判定,:,定义：两条边相等。,(AB=AC),有,两个角相等,的三角形是等腰三角形。,(,B=C),1.,在,ABC,中,AB=BC,B=70,那么,C=_.,4.,在,ABC,中,AC=AB,AD,是,ABC,的角平分线,已知,BC=7,B=63,.,则,BD=_,ADB=_,BAC=_.,55,2.,等腰三角形顶角和一个底角之和为,100,，,则顶角度数为,_,。,3.,等腰三角形两边长为,4,、,6,，,这个三角形周长为,_,。,20,14,或,16,3.5,90,54,巩固一练,A,B,C,定义,：,三条边都,相等的三角形,性质：,AB=AC,BC,B=C=A,=60,三个,三线合一,判定：,AB=AC,BC,B=C=A,=60,有一个角是,60,的等腰三角形。,等边三角形（正三角形）,1,、满足下列条件的三角形不一定,是等边三角形的是（）,（,A,）在,ABC,中，,AB=BC=AC,（,B,）在,ABC,中，,A=B=60,（,C,）在,ABC,中，,AB=BC,，,A=60,（,D,）在,ABC,中，,A=60,D,巩固一练,等腰三角形的性质与判定,1.,性质,(1),边：,等腰三角形的两腰相等。,(2),角：,等腰三角形的两个底角相等。,(,在同一个三角形中,等边对等角,),(3),对称性：,等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴,.,(4),重要线段：,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高,互相重合。,(,等腰三角形三线合一性质,),2.,判定定义：,有两边相等的三角形是等腰三角形,。,判定定理：,有两个角相等的三角形是等腰三角形。,(,在同一个三角形中,等角对等边,),3.,等边三角形,:,(1),三个角都相等的三角形是等边三角形。,(2),有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,（,1,）计算角的度数,利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。,已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）,（,2,）证明线段或角相等,等腰三角形性质与判定的应用,以等腰三角形为条件时的常用辅助线,:,如图：若,AB=AC,作,ADBC,于,D,，必有结论,:,1=2,，,BD=DC,若,BD=DC,，连结,AD,，必有结论：,1=2,，,ADBC,作,AD,平分,BAC,必有结论：,ADBC,，,BD=DC,作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作,ADBC,，使,1=2.,例,1.,等腰三角形两个内角之比为,4:1,，,求顶角的度数,.,例题分析,说明,:,因为等腰三角形的两底角相等,两个内角的比为,4:1,尚未指明哪两个角,可能是顶角与底角的比,也可能是底角与顶角的比,所以分两种情况求解,.,此类题未说明哪两个角的比,解题时应审清题意,注意分类讨论,.,例,2.,如图，已知在,ABC,中，,AB=AC,，,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,，,BD,与,CE,相交于,M,点。求证：,BM=CM,。,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,证明：,AB=AC,ABC=ACB,（在同一个三角形 中等边对等角）,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,BEC=CDB=90,1+ACB=90,，,2+ABC=90,（直角三角形两个锐角互余）,1=2,（等角的余角相等）,BM=CM,（在同一个三角形中等角对等边）,例,3.,如图，在等边,ABC,中，,AF=BD=CE,，请说明,DEF,也是等边三角形的理由,.,解：,ABC,是等边三角形,AC=BC,，,A=C,CE=BD,BC,BD=AC,CE,即,CD=AE,在,AEF,和,CDE,中,AEFCDE,（,SAS,）,EF=DE,同理可证,EF=DF,EF=DE=DF,DEF,是等边三角形,说明：,证明等边三角形有三种思路：,证明三边相等证明三角相等,证明三角形是有一个角为,60,的等腰三角形。,具体问题中可利用不同的方式进行思考求解。,例题分析,例,4.,已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成,2:1,两部分，已知三角形底边长为,5,，求腰长？,解：如图，令,CD,x,，则,AD,x,，,AB,2,x,底边,BC,5,BC,CD,5,x,AB,AD,3,x,(5+,x,),：,3,x,2:1,或,3,x,：,(5+,x,)=2:1,x,x,2,x,5,例题分析,巩固练习,1.,下列结论叙述正确的个数为（）,（,1,）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；,（,2,）等腰三角形两底角的外角相等；,（,3,）等腰三角形有且只有一条对称轴；,（,4,）有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,（,A,）,0,个 （,B,）,1,个 （,C,）,2,个 （,D,）,3,个,2.,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，,1=2,，,则,AD,平分,BAC,，请说明理由。,3.,如图，在,ABC,中，,ABC,和,ACB,的平分线相交于,F,，过点,F,作,DE/BC,交,AB,于点,D,，交,AC,于点,E,，若,DB=5,，,EC=4,，求线段,DE,的长。,4.,已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段,a,、,h,求作：,ABC,，使,AB=AC=,a,，高,AD=,h,作法：,1,、作,PQMN,，垂足为,D,2,、在,DM,上截取,DA=,h,3,、以点,A,为圆心，以,a,为半径作弧，,交,PQ,于点,B,、,C,4,、连结,AB,、,AC,则,ABC,为所求的三角形。,5.,已知,ABC,中,AB=AC,，,AB,垂直平分线交,AC,于,E,，交,AB,于,D,，连结,BE,，,若,A=50,，,EBC=_,。,6.ABC,中，,AB=AC,，,ADBC,于,D,，,若,ABC,的周长为,50,，,ABD,的周长为,40,，则,AD=_,。,7.,若等腰三角形顶角为,n,度，则腰上的高与底边的夹角为,_,。,7.,如图，线段,OD,的一个端点,O,在直线,a,上，以,OD,为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线,a,上，这样的等腰三角形能画多少个,?,150,a,8,、如图，,D,是正,ABC,边,AC,上的中点，,E,是,BC,延长线上一点，且,CE=CD,，请说明,BD=DE,的理由,.,A,B C E,D,1,2,解,:,ABC,是正三角形,ABC=ACB=60,0,（）,D,是,AC,边上的中点,1=ABC=30,0,（）,CE=CD,2=E,（）,2+E=ACB=60,0,（）,E=30,0,，,1=E,BD=DE,（）,9.,已知：如图，,C=90,，,BC=AC,，,D,、,E,分别在,BC,和,AC,上，且,BD=CE,，,M,是,AB,的中点,.,求证：,MDE,是等腰三角形,.,分析,：要证,MDE,是等腰三角形，只需证,MD=ME,。连结,CM,，可利用,BMDCME,得到结果。,证明：连结,CM,C=90,，,BC=AC,A=B=45,M,是,AB,的中点,CM,平分,BCA,（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）,MCE=MCB=BCA=45,B=MCE=MCB,CM=MB,（在同一个三角形中等角对等边）,在,BDE,和,CEM,中,BDMCEM,（,SAS,）,MD=ME,MDE,是等腰三角形,10.,如图,2-8-1,中，,AB=AC,，,D,为,AB,上一点，,E,为,AC,延长线上一点，且,BD=CE,，,DE,交,BC,于,G,请说明,DG=EG,的理由,.,思路,因为,GDB,和,GEC,不全等，所以考虑在,GDB,内作出一个与,GEC,全等的三角形。,说明 本题易明显得出,DG,和,EG,所在的,DBG,和,ECG,不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过,E,作,EFBD,，交,BC,的延长线于,F,，证明,DBGEFG,，同学们不妨试一试。,11.,如图，在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,0,，,CAB,的平分线,AD,交,BC,于,D,，,AB,边上的高线,CE,交,AB,于,E,，交,AD,于,F,，,求证：,CD=CF,B,A,C,E,D,1,2,3,F,分析：,CD=CF,1=2,1=,B,+,BAD,2=3+,DAC,3=,B,1=90,BAD,=90,CAD,ACB,=90,，,CE,是,AC,边上高,小 结,1,、等腰三角形的有关概念。,2,、等腰三角形的识别。,3,、应用等腰三角形的性质定理,和三线合一性质解决有关问题。,4,、通过习题，能总结代数法求,几何角的大小、线段长度的方法。,课本第,51,页,(,目标与评定,),布置作业,1.,知识梳理,2.,例题分析,3.,练习巩固,4,拓展延伸,直角三角形,从,角,的方面：,从,边,的方面：,两锐角,互余,，即,A+B=90,D,直角三角形，,斜边上,的,中线,等于,斜边,的,一半,。,直角三角形，两,直角边,的,平方和,等于,斜边,的,平方,a,b,c,可逆,可逆,可逆,定义：有一个角是,直角,的三角形,性质：,RtABC,中,C=Rt,，,A:,B=1:2,则,A=_.B=_.,A,C,B,30,60,2.,已知一个三角形的三个内角之比为,1,：,1,：,2,，求这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形状的三角形。,等腰直角三角形,A,C,B,3.,已知,RtABC,中，斜边上的中线,CD=5,，则斜边,AB=_.,(1),若,A=30,，则,BC=_.,D,10,5,(,2),若,ADC=130,，则,B=_.,65,(,3),若,AC=8,，则,BC=_.,6,直角三角形斜边上的中线,A,C,B,D,直角三角形斜边上的高线,4.,如图,RtABC,中,C=Rt,，,CD,AB,(1),若,A=37,则,BCD=_.,(2),若,AC=3,BC=4,则,CD=_.,37,2.4,勾股定理及其逆定理,5,、以下列线段为边长能构成一个直角三角形的是（）,（,A,）,1,，,2,，,3,（,B,）,2,，,3,，,4,（,C,）,6,，,8,，,10,（,D,）,4,，,5,，,6,C,A,B,C,D,6.,已知,ABC,中，,AB=AC=4.AD,BC,AD=3cm,，则,BC=_.,7.,已知,ABC,中，,ACB=Rt.CD,AB,BC=5,，,CE,是斜边,AB,上的中线，,CE=,则,AB=_,AC=_,CD=_.,13,12,直角三角形全等的判定方法：,A,B,C,A,B,C,ASA,AAS,2)SAS,3)SSS,4)HL,直角三角形特殊的全等判定方法“,HL,8.,如图，,AD,与,BC,相交于点,O,，已知,AD,BD,，,BC,AC,AC=BD,则,OA=OB,请说明理由。,1,、满足下列条件的,ABC,，不是直角三角形的是：（）,A,、,b,2,=a,2,-c,2,B,、,C=A-B C,、,A,：,B,：,C=3,：,4,：,5 D,、,a:b:c=12:9:15,2,、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（）,A,、一条直角边和一个锐角分别相等,B,、两条直角边对应相等,C,、斜边和一条直角边对应相等,D,、斜边和一个锐角对应相等,A,C,练一练,15,、在,ABC,中，,AB=AC=10,，,BC=12,，,则,ABC,的面积,=_,。,24,16.,在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差,分别是,8,、,2,，则较长的直角边长为,_.,4,22,、如图，在,RtABC,中，,A=90,，,BC=10,，分别以,AB,、,AC,BC,为直径向外做半圆，求这三个半圆的面积之和。,4,、如图，某校,A,与公路距离为,3000,米，又与该公路旁上的某车站,D,的距离为,5000,米，现要在公路边建一个商店,C,，使之与该校,A,及车站,D,的距离相等，则商店与车站的距离约为（）,（,A,）,875,米（,B,）,3125,米（,C,）,3500,米（,D,）,3275,米,C,D,A,3,、如图，一个长为,25,分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，,这时梯足距墙底端,7,分米，如果梯子的顶端沿墙下滑,4,分米。,那么梯足将滑（）,（,A,）,15,分米（,B,）,9,分米（,C,）,8,分米（,D,）,5,分米,C,A,例,3,、,如图，已知四边形,ABCD,中，,B=90AB=4,，,BC=3,AD=12,，,DC=13,，,求四边形,ABCD,的面积,A,B,C,D,A,B,C,D,E,3,、,如图已知四边形,ABCD,中，,A=60B=D=90,，,BC=3,，,CD=2,，求,的值,2,AB,解,:,连接,AC,B=90,AB=4,BC=3,AC=5,AD=12,DC=13,2,AC,2,AD,+,=,2,CD,CAD=90,S,四边形,ABCD=,34,512=36,2,1,_,2,1,_,2,1,_,解：延长,AD,、,BC,交于,E,A=60,，,B=D=90,C=30,CD=,CE,，,CD=2,CE=4,，又,BC=3,BE=7,，由勾股定理得,AB=,2,1,_,AE,，,2,AB,2,BE,+,=,2,AB,4,2,AB,=,49,3,思考：若,A,城与,B,地的方向保持不变，为了确保,A,城不受台风影响至少离,B,地多远？,解：作,AD,BF,由已知可得：,FBA=30,0,AD=1/2AB=150KM,而,150,200,所以,A,城会受到台风的影响,例,1,。如图，设,A,城市气象台测得台风中心，在,A,城正西方向,300,千米的,B,处，正向北偏东,60,0,的,BF,方向移动，距台风中心,200,千米的范围内是受台风影响的区域，那么,A,城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。,东,北,F,B,A,60,0,D,应 用 与 延 伸,例,2,、如图，已知,AB=AD,，,CB=CD,，,AC,，,BD,相交于点,O,，,若,AB=5,，,AC=7,，,BD=6,求,BCD,的度数,解：,AB=AD,点,A,在线段,BD,的中垂线上,同理点,C,也在,BD,的中垂线上,ACBD,且平分,BD,BD=6,BO=3,AB=5,由勾股定理得,AO=4,AC=7,OC=3,BOC,等腰直角三角形,BCO=45,同理,DCO=45,BCD=90,A,B,D,C,O,如图，将长、宽分别为,40cm,20cm,的长方形玻璃裁成,两部分，然后拼成一个三角形，,（,1,）如何裁，拼成一个三角形？,（,2,）画出图形，并注明各边的长度；,（,3,）判断三角形形状，并说明理由。,A,B,C,D,40cm,20cm,拼图游戏,20cm,20cm,A,B,C,D,2,、当,BC,为腰时，设,B,为顶角，分下面几种情况讨论：,（,1,）顶角,B,为锐角时，如图：,AD=1/2BC=1/2AB,AD BC,B=30,0,BAC=C=1/2,（,180,0,30,0,)=75,0,D,B,A,C,（,2,）当顶角,B,为钝角时，如图,：,AD BC,AD=1/2BC=1/2AB,ABD=30,0,BAC=C=1/2 ABD=15,0,BAC,的度数为,90,0,或,75,0,或,15,0,（,3,）当顶点,B,为直角时，高,AD,与腰,AB,重合,则有,AD=AB=BC,，与已知矛盾，故,B 90,0,1,、通过这节课的复习，你对直角三角形的知识有进一步的了解吗？又学到了关于它的哪些知识呢？,2,、,(1),每位同学自编一道题目，能够运用有关直角三角形的知识进行解答，然后同桌之间交换解题。,(2).,完成作业本上小结,.,课堂小结 和 作业,