高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解.doc

高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解
高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解
一、选择题
1．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线及直线y＝2x平行，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　由条件知，f ′(1)＝3×12－2a×1＋1＝2，
∴a＝1.
(理)(2010·芜湖十二中)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．4 B．－ C．2 D．－
[答案]　A
[解析]　∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，
∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f ′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f ′(1)＝g′(1)＋2＝4.
2．把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为(　　)
A．20,80 B．40,60
C．50,50 D．30,70
[答案]　C
[解析]　设一段长为x，则另一段长为100－x，
∴S＝()2＋()2＝[x2＋(100－x)2]
＝(2x2－200x＋10000)
令S′＝0得(4x－200)＝0，∴x＝50.
3．在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　)
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4　(0＜x＜R)，
l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R.
当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.
4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　)
A. B.
C. D．3π·
[答案]　C
[解析]　设圆柱底面半径为r，高为h，
∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝
又V＝πr2h＝，则V′＝，令V′＝0
得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝.
(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为(　　)
A．R B．2R
C.R D.R
[答案]　C
[解析]　设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3
V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)
A.cm B.cm
C.cm D.cm
[答案]　D
[解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R及产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)
A．100 B．150 C．200 D．300
[答案]　D
[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
7．(文)(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是(　　)

[答案]　D
[解析]　由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
(理)如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(　　)

[答案]　A
[解析]　∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.
8．(2010·鞍山一中)函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－ B．－<a<－
C．a>－ D．－≤a≤－
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)<0，∴<0，
∴－<a<－，故选B.
9．(2010·泰安质检)已知非零向量a，b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵函数f(x)在R上有极值，∴f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a|·|b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ>0，∴cosθ<，∴选D.
[点评]　若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f ′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝x3，f ′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．
10．(文)(2010·常德市检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是(　　)
A. B. C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝x2＋2ax－b，在[－1,3]上有f ′(x)≤0，∴，∴，
由得，
∴当直线a＋b＝z经过点A(－1,3)时，zmin＝2.
(理)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　)
A．0个根 B．1个根
C．2个根 D．3个根
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝x3－ax2＋1，则f ′(x)＝x2－2ax，
∵a>2，∴f ′(x)≤0⇔0≤x≤2a.
又(0,2)(0,2a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，
f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝－4a<0.
故f(x)的图象在(0,2)上及x轴有一个交点．
二、填空题
11．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长及宽之比为21，该长方体的最大体积是________．
[答案]　3m3
[解析]　设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x　(0<x<2)，故体积为V＝2x2＝－6x3＋9x2，
V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
∵0<x<2，∴x＝1.
∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.
[点评]　注意长方体的长、宽、高都是正值，且长、宽、高的和的4倍为总长度．请再练习下题：
用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
[解析]　设容器的短边长为xm，
则另一边长为(x＋0.5)m，
高为＝3.2－2x.
由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6，
设容器的容积为ym3，
则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，
整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)，
∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8
答：高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3.
12．(2010·江苏，14)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
[答案]　
[解析]　设DE＝x，
则梯形的周长为：3－x，
梯形的面积为：(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)
∴s＝＝·，x∈(0,1)，
设h(x)＝，
h′(x)＝.
令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)，
∴h(x)最小值＝h＝8，
∴s最小值＝×8＝.
13．(2011·江西会昌检测)曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．
[答案]　
[解析]　设P(x0，x02＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x02＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x02＋1，令g(x)＝2x0(x－x0)＋x02＋1，
g(1)＋g(2)＝2(x02＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)＝－2x02＋6x0＋2，∴S普通梯形＝×1＝－x02＋3x0＋1＝－(x0－)2＋，∴P点坐标为(，)时，S普通梯形最大．
14．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为________．
[答案]　d
[解析]　如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，
由于x2＋x2＋h2＝d2，
∴x2＝(d2－h2)．
∴球内接正四棱柱的体积为
V＝x2·h＝(d2h－h3)，0<h<d.
V′＝(d2－3h2)＝0，∴h＝d.
在(0，d)上，函数变化情况如下表：

由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.
三、解答题
15．(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．
(1)写出月利润y及x的函数关系式；
(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．
[解析]　(1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，
则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，
即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)(0<x<1)．
(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，
令y′＝0得，6x2＋x－2＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
当0<x<时，y′>0；当<x<1时，y′<0.
故当x＝时，y取得最大值．
此时销售价为6000×＝9000元．
故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大．
16．(文)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解析]　(1)汽车从甲地到乙地需用小时，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000　(0<v≤100)．
(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，
∴当v＝80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，最小值为元．
(理)(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)及隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用及20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]　(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得，k＝40，
因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用及20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝6－，令f ′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0<x<5时，f ′(x)<0，当5<x<10时，f ′(x)>0，
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
17．(文)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)
[解析]　依题意，有xy＋x·＝8，
∴y＝＝－(0<x<4)，
于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2×
＝x＋，l′＝＋－，
令l′＝0，即＋－＝0，
解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)，
当0<x<8－4时，l′<0；当8－4<x<4时，l′>0；
所以当x＝8－4时，l取得最小值，此时，x＝8－4≈2.343m，y≈2.828m.
即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省．
(理)有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？
[分析]　桶的总造价要根据铁及铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小．问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题．
[解析]　解：设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于V＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋　(r>0)．
所以，y′＝8mπr－.
令y′＝0，得r＝，此时，h＝＝4.
该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r＝时，y有最小值，即hr＝4时，总造价最小．

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