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高考文科数学专题复习函数及导数
2009年高考文科数学试题分类汇编——函数及导数
一、选择题
1.（09年福建2） 下列函数中，及函数 有相同定义域的是
A B C D
【分析】本题考查函数的定义域.
【解析】函数的定义域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），函数的定义域为，函数和的定义域都为R,故选A.
2.（09年福建8） 定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中及的单调性不同的是
A． B.
C. D．
【分析】本题考查函数的图像及性质。
【解析】由偶函数的图像及性质知，函数在上是减函数，由二次函数的图像知函数在上是减函数，
3.(广东卷4)若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
4.(广东卷8)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
5.（浙江8）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上是增函数
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
C 【命题意图】此题主要考查了全称量词及存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．
【解析】对于时有是一个偶函数
6. （2009北京4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
7. (2009山东卷6)函数的图像大致为( ).

【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
8. （09山东7） 定义在R上的函数满足= ，则的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,故选B.
答案:B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程..
9. (2009山东卷文12)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
10.（2009全国卷Ⅱ文2）定义在R上的函数满足= ，则的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2

答案：B
解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.
11.（2009全国卷Ⅱ文3）函数y=的图像
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
答案：A
解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
12.（2009全国卷Ⅱ文7）设则
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。
13. （09年安徽文8）＜b,函数的图象可能是

【解析】可得的两个零解.
当时,则
当时,则当时,则选C。
【答案】C
14. （2009江西卷文2）函数的定义域为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
答案：D
【解析】由得或,故选D.
15. （2009江西卷文5）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
答案：C
【解析】,故选C.
16.（2009江西卷文11）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为

答案：B
【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
17.（2009江西卷文12）若存在过点的直线及曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或
答案：A
【解析】设过的直线及相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由及相切可得，
当时，由及相切可得，所以选.

18. （2009天津卷文5）设，则
A << B << C b<< D <<
【答案】B
【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。
19.（2009天津卷文8）设函数则不等式的解集是（ ）
A B
C D
【答案】A
【解析】由已知，函数先增后减再增
当，令
解得。
当，
故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
20.（2009天津卷文10）设函数在R上的导函数为,且,下面的不等式在R内恒成立的是
A B C D
【答案】A
【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。

21. （2009四川卷文2）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
22.（2009四川卷文12）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则 ）
由此得
于是，

23. （2009湖南卷文1）的值为【 D 】
A． B． C． D．
解:由,易知D正确.
24.（2009湖南卷文7）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是【 A 】
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．

解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上
各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
25.（2009湖南卷文8）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 ，取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】
A ． B． C ． D ．
解: 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
26. （2009辽宁卷文6）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
27.（2009辽宁卷文12）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
【解析】由于是偶函数,故＝
∴得＜,再根据的单调性
得＜ 解得＜＜
【答案】A

28.（2009陕西卷文3）函数的反函数为
（A） (B)
（C） (D)学科
答案：D. 解析:令原式 则
故 故选D.
29.（2009陕西卷文10）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则
(A) (B)
(C) (D)
答案:A.
解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.
30.（2009陕西卷文12）设曲线在点（1，1）处的切线及x轴的交点的横坐标为,则的值为
(A) (B) (C) (D) 1
答案:B
解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
31.（2009全国卷Ⅰ文6）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
【解析】本小题考查反函数，基础题。
解：由题令得，即，又，所以，故选择C。
32.（2009湖北卷文2）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D

33.（2009福建卷文11）若函数的零点及的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点及的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
34. （2009重庆卷文10）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线及至多只有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。
35. （09辽宁文12）用min{,,}表示,,三个数中的最小值
设=（0),则的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7

36.
二、填空题
1. （2009北京12）已知函数若，则 .
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
2. （09山东文14）.若函数=（＞0且≠1）有两个零点，则实数的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数=（＞0且≠1）有两个零点, 就是函数且及函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
答案:
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象及直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
3.（2009辽宁卷文15）若函数在处取极值，则
【解析】f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
【答案】3
4.（09福建文15）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为及存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
5. （2009重庆卷文12）记的反函数为，则方程的解 ．
【答案】2
解法1由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
6.（2009江苏卷3）函数的单调减区间为 .
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
7.（2009江苏卷9）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
8.（2009江苏卷10）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
，函数在R上递减。由得：m<n
9.（2009江苏卷11）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .
【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由得，；由知，所以4。
10.（2009上海卷文） 函数=的反函数=____________ _.
【答案】
【解析】由＝，得＝，将改成，改成可得答案。
11.（2009四川卷文16）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有

∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
.
12.（2009宁夏文13）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
【答案】
【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
13.
三、解答题
1.(广东卷21)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像及直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设，则；
又的图像及直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
2. （浙江21）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
3.（2009北京18）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处及直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间及极值点.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处及直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
4. (2009山东卷文21)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1） 当满足什么条件时,取得极值?
（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数及方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
5.(09年全国卷Ⅱ文21)设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析：本题考查导数及函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解： （I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

由假设知
即 解得 1<a<6
故的取值范围是（1，6）
6. （09安徽文21）（本小题满分14分）
已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性;
（Ⅱ）设=3，求在区间{1，}上值域，其中e=2.71828…是自然对数的底数。
【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
【解析】(1)由于
令
①当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
8. .（2009江西卷文17）（本小题满分12分）
设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解：(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.

9. （2009天津卷文21）（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）当曲线处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间及极值；
（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
【解析】解：当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极小值

极大值

在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数及方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

10. （2009四川卷文20）（本小题满分12分）
已知函数的图象在及轴交点处的切线方程是。
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①
又，由已知得……②
联立①②，解得.
所以函数的解析式为 …………………………………4分
（II）因为
令
当函数有极值时，则，方程有实数解，
由，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值
②当时，有两个实数根情况如下表：

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
…………………………………12分

11.（2009湖南卷文19）（本小题满分13分）
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。
解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，
所以，于是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.
（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。
（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.
当x＜时，， 在区间内为增函数；
当＜x＜时，，在区间内为减函数;
当时，，在区间内为增函数.
所以在处取极大值，在处取极小值.
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.
于是的定义域为.由 得.
于是 .
当时，所以函数
在区间内是减函数，故的值域为
12. （2009辽宁卷文21）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线及x轴平行。
（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II） 证明：当
解：（Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分
于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分
13.（2009陕西卷文20）（本小题满分12分）
已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m及的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解析：（1）
当时，对，有
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
（2）因为在处取得极大值，
所以
所以
由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值。
因为直线及函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是。
14.(09全国卷Ⅰ文 21). （本小题满分12分）已知函数=.
(1)讨论的单调性；
(2)设点P在曲线=上，若该曲线在该点的切线通过坐标原点，求的方程.
【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。
解：（Ⅰ）
令得或；
令得或
因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。
（Ⅱ）设点，由过原点知，的方程为，
因此，即，整理得
，解得或。
所以的方程为或

15. （2009湖北卷文21）（本小题满分14分）
已知关于的函数=,其导函数为.令＝,记函数在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数在＝1处有极值，试确定、的值：
（Ⅱ）若∣∣＞1,证明对任意的,都有M＞2:
(Ⅲ)若M≥对任意的、恒成立，试求的最大值。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I）解：，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则

当变化时，，的变化情况如下表：

1

0
+
0

极小值

极大值

当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则

将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时

，即
下同解法1

16. （2009福建卷文21）（本小题满分12分）
已知函数且
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段及曲线存在异于、的公共点；
解法一：
（I）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（I）得（
故
令，则或
①当时，
当变化时，及的变化情况如下表：

+
—
+

单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段及曲线有异于的公共点
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得

所以线段及曲线有异于的公共点
17. （2009重庆卷文19）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知为偶函数，曲线过点，．
（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
解: （Ⅰ）为偶函数,故即有
解得
又曲线过点,得有
从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得
所以实数的取值范围:
（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得
又 令,得
当时, ,故在上为增函数
当时, ,故在上为减函数
当时, ,故在上为增函数

18.（2009江苏卷20）(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析及解决问题的综合能力。满分16分
（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.

19．(09高考数学文21)（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a及学科知识有关.
（1）证明：当7时，掌握程度的增长量总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
证明（1）当时，
而当时，函数单调递增，且
故函数单调递减
当时，掌握程度的增长量总是下降
(2)有题意可知
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
20. （2009宁夏海南卷文21）（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（21）解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得

令
列表讨论的变化情况：

（-1，3）
3

+
0
—
0
+

极大值6

极小值-26

所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有

由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
21.
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