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新课标高考对函数与导数及其应用的考查研究
新课标高考对“函数及导数及其应用”的考查研究
编辑制作：刘炳杰
一、名师展考题背景
函数及导数的交汇问题常作为压轴题或难度较大的问题出现在高考中，同学们应该学会从导数的几何意义理解导数及函数性质的关系。可导函数的单调性及极值及其导数的关系，会求函数的单调区间、极值、最值。
二、历年全国卷高考题展示（4年高考题+2011年山西省高考考前适应性训练试卷）
（Ⅰ）2007年新课标卷考题
【题目】

【答案及解析】

（Ⅱ）2008年新课标卷考题
【题目】
21、（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为。
（1） 求的解析式；
（2） 证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3） 证明：曲线上任一点的切线及直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
【答案及解析】
21．解：
（Ⅰ），
于是 解得 或
因，故．
（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而．
可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令得，切线及直线交点为．
令得，切线及直线交点为．
直线及直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
（Ⅲ）2009年新课标卷考题
【题目】
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
【答案及解析】
(21)解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则

故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数

则
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分
（Ⅳ）2010年新课标卷考题
【题目】
（21）（本小题满分12分）
设函数。
（1） 若，求的单调区间；
（2） 若当时，求的取值范围。
【答案及解析】
（21）解：
（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
（Ⅴ）2011年山西省高考考前适应性训练试卷考题
【题目】
（21） 已知函数f(x)=a/x +lnx-1,a属于R
（1） 若函数f(x) 在点P（1，y0）处的切线平行于直线y=-x+1,求函数y=f(x)的单调区间；
（2） 若函数y=f(x+0.5)在x属于［0，e］上有两个零点，求实数a的取值范围。
【答案及解析】

三、他山之石——从他省考题看函数及导数题型的考查趋势
（Ⅰ）2010年湖北卷考题
【题目】
（Ⅲ）
【答案及解析】
21．本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分14分）
解：（Ⅰ），则有，解得　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则 ，
（i）当 ，
若 ，则，是减函数，所以
，故在上恒不成立。
（ii）时，
若，故当时，
综上所述，所求的取值范围为
（Ⅱ）2010年江西卷考题
【题目】
19. （本小题满分高☆考♂资♀源*网12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【答案及解析】
考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；当为减函数。
（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
（Ⅲ）2010年辽宁卷考题
【题目】
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
【答案及解析】

（Ⅳ）2010年山东卷考题
【题目】
（22）（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【答案及解析】
（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。
解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时及（*）矛盾；
②当时，因为，同样及（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
（Ⅴ）2010年安徽卷考题
【题目】
（17）（本小题满分12分）
设a为实数，函数
（I）求的单调区间及极值；
（II）求证：当时，
【答案及解析】
（17）（本小题满分12分）
本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
（I）解：由
令的变化情况如下表：

—
0
+

单调递减

单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，
极小值为
（II）证：设
于是
由（I）知当

于是当
而
即
（Ⅵ）2010年全国Ⅰ卷（理科）
【题目】
(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
【答案及解析】
20.解：
（Ⅰ），
,
题设等价于.
令，则
当，；当时，，是的最大值点，

综上，的取值范围是.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.
当时，；
当时，

所以
（Ⅶ）2010年全国Ⅰ卷（文科）
【题目】
（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（I）当时，求的极值;
（II）若在上是增函数，求的取值范围
【答案及解析】
（21）解：
（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0. 综合得的取值范围为
（Ⅷ）2010年全国Ⅱ卷（理科）
【题目】
（22）（本小题满分12分）设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【答案及解析】

（Ⅸ）2010年全国Ⅱ卷（文科）
【题目】
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）设，求的单调区间；
（Ⅱ）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.
【答案及解析】
（21）解：
（Ⅰ）当a=2时，
当时在单调增加；
当时在单调减少；
当时在单调增加；
综上所述，的单调递增区间是和，
的单调递减区间是
（Ⅱ），
当时，为增函数，故无极值点；
当时，有两个根

由题意知，
①式无解，②式的解为，
因此的取值范围是.
四、复习建议
在对函数这一知识点复习时，既要重视基本概念和基本计算的复习巩固，同时还需进行综合训练。函数是学习其他知识的基础，同时又是一门重要工具。它对于三角函数学习，以及对于学习和研究数列，不等式均能提供必要的工具和指导，是命题者有兴趣命制优秀试题之处，因此习时须投入较大的工作量。
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