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大学物理章质点动力学习题答案
第二章 质点动 力学

2－1一物体从一倾角为30°的斜面底部以初速v0=10m·s-1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s-1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30°
物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

把式（2）代入式（1）得，

2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力和轨道对它的支持力.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得
习题2－2图
A
o
B
r
D
C
T
a

由

2－3如本题图，一倾角为q 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两者间摩擦系数为m，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。
解：如图所示
a
θ
习题2-3图
m

2－4如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少 。
解：如图由受力分析得
mg
aB
TB
TA
mg
aA
A
B
习题2-4图

2－5如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2 运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）

解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，
习题2－5图

2－6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M的加速度和m相对M的加速度。
习题2-6图
解：（如图）m相对M的相对加速度为，则

在水平方向，
在竖直方向
由牛顿定律可得，
，　
2－7在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，

解得钢球距碗底的高度

2－8光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间与经过的路程。
解：（1）设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，

（2） 当物体速率从v0减少到v0/2时，由上式可得物体所经历的时间

经过的路程

2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。
（1）试证明物体的速度为

(2)证明物体将达到的最大高度为

(3)证明到达最大高度的时间为

证明：由牛顿定律可得
y
f＝－kv
mg
v

2－10质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）
解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为
，入水后如图由牛顿定律的

2－11一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。
解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），

2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？
解：由动量定理得，如图受力分析并由牛顿定律得，

2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)
解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为

2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）
解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有

2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?
解：取平板车与N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。
考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得
0＝Mv+Nm（v－u）
v＝Nmu/(Nm+M) (1)
又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有
（M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2)
由式（2）得递推公式
vn－1=vn+mu/(M+nm) (3)
当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0，
根据式（3）有，
vN-1=0+mu/(Nm+M)
vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M)
………….
v0= v1+mu/(M+nm)
将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，2－16　A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)
解：
设A、B两船原有的速度分别为vA和vB，传递重物后的速度分别为v’A和v’B,由动量守恒定律可得

2－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。
解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为
G＝mg－αgy
其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为

2－18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）
解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有
习题2－18图

2－19如本题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。
解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有
习题2－19图

2－20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？
习题2－20图
解：

2－21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。
解：
习题2－21图

2－22如本题图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为M，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？
解：
习题2－22图
2－23如本题图所示，质量分别为m1=10.0kg和m2=6.0kg的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力F1= (8.0N)i和F2 =(6.0N)j的作用下运动。试求：(1) 它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。
习题2－23图
解：（1）选如图所示坐标，则t＝0时，系统的质心坐标为

2－24质量为2×10-3kg的子弹以500m·s-1的速率水平飞出，射入质量为1kg静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100m·s-1，而木块向前滑行了0.2m。求：(1)木块与平面间的摩擦系数 (2)子弹动能和动量的减少量。
解：

2－25如本题图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。
解：
习题2－25图

2－26一质量为m的运动粒子与一质量为km的静止靶粒子作弹性对心碰撞，求靶粒子获得最大动能时的k值。
解：

2－27质量为m的中子与质量为M的原子核发生弹性碰撞，若中子的初动能为E0，求证碰撞时中子可能损失的最大动能为。
解：设弹性碰撞前中子的动量为P0，碰撞前中子的动量为P1，原子核的动量为P2，由动量守恒的标量式可以得

2－28如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角q 应满足cosq = 1/9。
B
q
2L
习题2－28图
A
B
C
L
证明：设球A到达最低点的速率为v，根据机械能守恒有

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