高等数学第章试题.doc

高等数学第章试题
高等数学
院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______
题　号
选择题
填空题
计算题
证明题
其它题型
总　分

题　分
20
20
20
20
20
核分人

得　分

复查人

一、选择题（共 20 小题，20 分）
1、 设

Ω是由z≥与x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是
A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1.
答 ( )
2、 设f(x,y)为连续函数，则积分

可交换积分次序为

答 ( )
3、 设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于
(A) (B)
(C) (D)
答 ( )
4、 设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1.
I= a,b,c为常数，则
(A) I>0 (B) I<0
(C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定
答 ( )
5、 设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。若
，则
(A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积
(C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积
答 ( )
6、 由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是
(A) (B)
(C) (D)
答 ( )
7、 设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I=
(A) 4x2yzf(x,y2z3)dv (B) 4x2yzf(x,y2,z3)dv

(C) 2x2yzf(x,y2,z3)dv (D) 0
答 ( )
8、 函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的
(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；
(C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。
答 ( )
9、 设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则
等于
(A) (B)
(C) (D)
答 ( )

10、 设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为

答 ( )
11、 设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则的充要条件是
(A) f(x,y,z)在Ω4上是奇函数 (B) f(x,y,z)≡0, (x,y,z)∈Ω4

(C) Ω4=Æ空集 (D)
答 ( )
12、 设Ω1:x2+y2+z2≤R2;z≥0.Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.则
(A) z99dv=4x99dv . (B) y99dv=4z99dv .
(C) x99dv=4y99dv . (D) (xyz)99dv=4(xyz)99dv.
答 ( )
13、 设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在Ω上的三重积分的值。
(A) (B)
(C) (D)
答 ( )
14、 设，则I满足

答 ( )
15、 函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分存在的
(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；
(C)必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件。
答 ( )
16、 若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则
(A) e; (B) e－1; (C) 0; (D)π.
答 ( )
17、 二重积分(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为

答 ( )
18、 设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=f,f(x,y)是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分
答 ( )
19、 设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,Ω1是Ω位于z≥0部分的半球体，
I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv,则
(A) I>0 (B) I<0
(C) I=0 (D) I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv
答 ( )
20、 设Ω为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理
而V为Ω的体积，则：
(A) 若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(ξ,η,ζ)=0
(B) 必f(ξ,η,ζ)≠0
(C) 若Ω为球体x2+y2+z2≤1时f(ξ,η,ζ)=f(0,0,0)
(D) f(ξ,η,ζ)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系
答 ( )

二、填空题（共 20 小题，20 分）
1、 根据二重积分的几何意义
=___________. 其中D：x2+y2≤1.
2、 设Ω是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。则Ω质量的三重积分公式为________________.
3、 设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知=________.
4、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)＞0,则的几何意义是
__________________.
5、 二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为
____________.
6、 设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_________.
7、 根据二重积分的几何意义
其中D：x2+y2≤a2,y≥0,a＞0.
8、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限存在(其中入是___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作
9、 设积分区域D的面积为S，则
10、 设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.
11、 设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则
I=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+________________________________ _____。
12、 设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。则Ω关于直线 的转动惯量的三重积分公式为_________________.
13、 设D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分
14、 设Ω1:x2+y2+z2≤R2,Ω2:x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.u=f(t)是(－∞,+∞)上的偶函数，且在(0，+∞)上严格单调增加，则
(A) xf(x)dv=4xf(x)dv (B) f(x+z)dv=4f(x+z)dv

(C) f(x+y)dv=4f(x+y)dv (D) f(xyz)dv=4f(xyz)dv
答（ ）
15、 二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.
16、 =___________________。
17、 设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，如果μ(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=__________________.
18、 设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.
19、 设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为ρ(x,y,z).设M为其质量，而 ( ,, )为其重心，Ω关于xoy平面的静矩定义为：Mxy = M, Mxy的三重积分计算式为________________.
20、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在每一个小区域Δσi任意选取一点(ξi,ηi),如果极限
(其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。

三、计算题（共 20 小题，20 分）
1、 计算二重积分
其中
2、 设Ω是由x=0,y=0,z=0,x=1－y2与所围的有界闭区域。计算I=.
3、 设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=αx,y=βx所围的有界闭区域(0<a<b;0<α<β),试计算

4、 设Ω是由x2+y2=R2;z=0;z=1;y=x;y=所围恰好位于第一卦限部分的一立体。试求积分I=.
5、 设Ω是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，计算.
6、 设Ω是由bz≤x2+y2+z2≤az (a>b>0)所确定的闭区域。试计算
7、 计算二重积分
其中D：0≤y≤sinx, .
8、 计算二重积分 其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p>0)所围成的区域。
9、 设Ω是由曲面z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x与x=2y所围位于x≥0与y≥0
部分的闭区域。试计算I=
10、 计算三重积分I=，其中Ω是由所围位于部分的立体
11、 设Ω是由a2≤x2+y2≤2a2 (a>0)，y≥0，z≤0以与所确定的闭区域。试计算
12、 计算二重积分 其中D：x2+y2≤1.
13、 由二重积分的几何意义，求
14、 计算二重积分 其中积分区域D是x2+y2≤a2 (a>0).
15、 设Ω是由以与0≤z≤sin(x+y)所确定的立体。试计算

16、 计算二次积分
17、 计算二重积分
其中
18、 计算二重积分 其中D：x≤y≤,0≤x≤1.
19、 设Ω是由,y=0,z=0与所围的有界闭区域。试计算.
20、 计算二重积分 其中D是由直线x=－2,y=0,y=2与左半圆x= 所围成的区域。

四、证明题（共 20 小题，20 分）
1、 试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。
2、 设f(t)是连续函数，证明
3、 锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az (a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.
4、 设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

5、 设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明
6、 设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：
其中σ是D的面积。
7、 设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得
(a2+b2+c2=1)
8、 设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证
9、 设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)ÎD，利用二重积分定义证明：

10、 设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：
其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.
11、 设f(u)为连续函数，试证
12、 设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

13、 设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

14、 设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

15、 设Ω为由≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=[(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).
16、 设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，
,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

17、 证明： 其中n为大于1的自然数。
18、 设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。
19、 设Ω为区域x2+y2+z2≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：
。
20、 设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

五、其它题型（共 20 小题，20 分）
1、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
2、 按照三重积分的定义：.试问这里的λ,(ξi,ηi,ζi)分别代表什么?
3、 设f(x,y)是连续函数，交换积分
的积分次序。
4、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
5、 Ω是由x2+y2+z2≤2Rz (R>0)所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式。
6、 在形状为z=x2+y2的容器内注入k立方单位的水，问此时水平面高度为多少，并求出高度对k的变化率。
7、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
8、 试求由封闭曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a>0)所围立体的体积。
9、 设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以与z=0所围的有界闭区域，试将I=分别化成直角，柱面与球面坐标下的三次积分式。
10、 将积分化为在极坐标系中先对r积分的累次积分。
11、 Ω是边长分别为a,b,c的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求Ω是质量。
12、 F(t)=,其中f(u)为连续的偶函数，区域Ωt:由|x+y+z|≤t,|x－y+z|≤t,|x+y－z|≤t来确定。求。
13、 设f(x,y)是连续函数，交换积分
的积分次序。
14、 平面薄片由曲线,x=0与所围成，其面密度函数为ρ(x,y)=x.试求薄片质量。
15、 将积分化为在极坐标系中的累次积分，其中D是由直线y=x,y=－x
与y=1所围成的区域。
16、 设Ω是由以与1≤x2+y2+z2≤4所确定的闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。
17、 空间立体r2≤x2+y2+z2≤R2,z≥0 (0<r<R)被锥面z2=(cot2α)(x2+y2) 分割成两部分，试求两部分的体积之比，并问α为何值时两部分体积相同。
18、 试求由曲面z=x2+y2,x2+y2=x,x2+y2=λx (λ>1), z=0所围空间立体的体积。
19、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。
20、 设扇形薄片由极坐标下|θ|≤α与r≤a (a>0)所确定，而薄片上各点的面密度等于该点到直角坐标下y轴的距离，试求其质心坐标。

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