大学物理(第四版)课后习题及答案-质点.doc

大学物理(第四版)课后习题及答案 质点
题1.1：已知质点沿轴作直线运动，其运动方程为 。求（l）质点在运动开始后内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。
题1.1解：（1）质点在4.0 s内位移的大小

（2）由
得知质点的换向时刻为
（t = 0不合题意）
则：

所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为

题1.2：一质点沿轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设时，。试根据已知的图，画出图以与图。

题1.2解：将曲线分为AB、BC、CD三个过程，它们对应的加速度值分别为
（匀加速直线运动）
（匀速直线）
（匀减速直线运动）
根据上述结果即可作出质点的a－t图
在匀变速直线运动中，有

由此，可计算在0~2和4~6 s时间间隔内各时刻的位置分别为
t/s
0
0.5
1
1.5
2
4
4.5
5
5.5
6
x/m
0

0
40
48.7
55
58.7
60
用描数据点的作图方法，由表中数据可作0~2 s和4~6 s时间内的x－t图。在2~4 s时间内，质点是作v = 20的匀速直线运动，其x－t图是斜率k = 20的一段直线。
题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为，滑轮到原船位置的绳长为，试求：当人以匀速拉绳，船运动的速度为多少？

题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为

船的运动速度为

而收绳的速率，且因，故

题1.3解2：取图所示的极坐标(r,q)，则

是船的径向速度，是船的横向速度，而是收绳的速率。由于船速v¢与径向速度之间夹角位q ，所以

由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。
题1.4：一升降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺丝自升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距。计算：（1）螺丝从天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。

题1.4解1： (1)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为

当螺丝落至底面时，有，即

(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

题1.4解2：(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小，螺丝落至底面时，有

(2)由于升降机在t时间内上升的高度为

则

题1.5：一质点沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设时，质点位于点。按图中所示坐标系，求（1）质点在任意时刻的位矢；（2）时的速度和加速度。

题1.5解：如图所示，在O¢x¢y¢坐标系中，因，则质点P的参数方程为

坐标变换后，在Oxy坐标系中有

则质点P的位矢方程为

5 s时的速度和加速度分别为

题1.6：一质点自原点开始沿抛物线运动，它在轴上的分速度为一恒量，其值为，求质点位于处的速度和加速度。
题1.6解：因vx = 4.0为一常数，故ax = 0。当t = 0时，x = 0，由积分可得
(1)
又由质点的抛物线方程，有
(2)
由y方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为
(3)
(4)
当质点位于x = 2.0 m时，由上述各式可得

题1.7：质点在Oxy平面内运动，其运动方程为。求：（1）质点的轨迹方程；（2）在到时间内的平均速度；（2）时的速度与切向和法向加速度。
题1.7解：(1)由参数方程

消去t得质点的轨迹方程

(2)在s到s时间内的平均速度

(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为

则t1 = 1.00 s时的速度

切向和法向加速度分别为

题1.8：质点的运动方程为和，试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。
题1.8解：（1）速度分量式为

当t = 0时，v0x= -10，v0y = 15，则初速度大小为

设v0与x轴的夹角为a，则

(2)加速度的分量式为

则加速度的大小为

设a与x轴的夹角为b，则

题1.9：一质点具有恒定加速度，在时，其速度为零，位置矢量。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。
题1.9解：由加速度定义式，根据初始条件t0 = 0时v0 = 0，积分可得

又由与初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i，积分可得

由上述结果可得质点运动方程的分量式，即

消去参数t，可得运动的轨迹方程

这是一个直线方程，直线斜率，。轨迹如图所示。
题1.10：飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高为时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？
题1.10解：(1)取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

飞机水平飞行速度，飞机离地面的高度m，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

(2)视线和水平线的夹角为

(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

取自然坐标，物品在抛出2 s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为

题1.11：一足球运动员在正对球门前处以的初速率罚任意球，已知球门高为。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
题1.11解：取图示坐标系Oxy，由运动方程

消去t得轨迹方程

以x = 25.0 m，v = 20.0 与3.44 ³ y ³ 0代入后，可解得
71.11º³ q1 ³ 69.92º
27.92º³ q2 ³ 18.89º
如何理解上述角度得范围？
在初速度一定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)。如果以q >71.11°或q <18.89°踢出足球，都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制，q 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值。当倾角取值为27.92° < q < 69.92°时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时也球不能射入球门。因此可取的角度范围只能是解中的结果。
题1.12：设从某一点以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。
题1.12证：取物体抛出点为坐标原点，建立如图所示的坐标系。物体运动的参数方程为

消去式中参数q ，得任意时刻的轨迹方程为

这是一个以为圆心、v0t为半径的圆方程(如图所示)，它代表着所有物体在任意时刻t的位置。
题1.13：一质点在半径为的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置运动到位置，和所对的圆心角为。
（1）试证位置和之间的平均加速度为；
（2）当分别等于、、和时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。
题1.13解：(1)由图可看到，故

而

所以
(2)将分别代入上式，得

上述结果表明：当时，匀速率圆周运动的平均加速度趋于一极限值，该值即为法向加速度。
题1.14：一质点沿半径为的圆周按规律运动，、都是常量。（1）求时刻的总加速度；（2）为何值时总加速度在数值上等于？（3）当加速度达到时，质点已沿圆周运行了多少圈？
题1.14解：(1)质点作圆周运动的速率为

其加速度的切向分量和法向分量分别为

故加速度的大小为

其方向与切线之间的夹角为

(2)要使由可得

(3)从t = 0开始到t = v0/b时，质点经过的路程为

因此质点运行的圈数为

题1.15：碟盘是一张表面覆盖一层信息记录物质的塑性圆片。若碟盘可读部分的内外半径分别为和。在回放时，碟盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）进行扫描。（1）若开始时读写碟盘的角速度为，则读完时的角速度为多少？（2）若螺旋线的间距为，求扫描线的总长度和回放时间。
题1.15分析：阿基米德螺线是一等速的螺旋线，在极坐标下，它的参数方程可表示为，式中r为极径，r0为初始极径，q为极角，a为常量。它的图线是等间距的，当间距为d时，常量a = d/2p。因此，扫描线的总长度可通过积分得到。
解：(1)由于线速度恒定，则由，可得，故碟盘读完时的角速度为

(2)在可读范围内，螺旋线转过的极角，故扫描线的总长度为

碟盘回放的时间为

本题在求扫描线的总长度时，也可采用平均周长的计算方法，即

题1.16：地面上垂直竖立一高的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2时正，杆顶在地面上的影子的速度的大小。在何时刻杆影将伸展至长？
题1.16解：设太阳光线对地转动的角速度为w，从正午时分开始计时，则杆的影长为s = htgwt，下午2时整，杆顶在地面上影子的速度大小为

当杆长等于影长时，即s = h，则

即为下午3时整。
题1.17：一半径为的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在时测得轮缘一点速度值为。求：（1）该轮在的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在内所转过的角度。
题1.17解：因，由题意得比例系数

所以
则t¢=0.5 s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

总加速度

在2.0 s内该点转过的角度

题1.18：一质点在半径为的圆周上运动，其角位置为。（1）求在时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？（3）为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？
题1.18解： (1)由于，则角速度，在t = 2 s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为

(2)当时，有，即

此时刻的角位置为

(3)要使，则有

题1.19：一无风的下雨天，一列火车以的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成角下降，求雨滴下落的速度。（设下降的雨滴作匀速运动）
题1.19分析：这是一个相对运动的问题。设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S，火车为动参考系S¢。v1为S¢相对S的速度，v2为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系即可解。
解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为v1，雨滴相对地面竖直下落的速度为v2，旅客看到雨滴下落的速度v¢2为相对速度，它们之间的关系为，于是可得

题1.20：设有一架飞机从处向东飞到处，然后又向西飞回到处，飞机相对空气的速率为，而空气相对地面的速率为，、间的距离为，飞机相对空气的速率保持不变。（1）假定空气是静止的（即），试证来回飞机飞行时间为；
（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为；
（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为。
题1.20证：由相对速度的矢量关系，有
(1)空气是静止的，即u = 0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度v就等于相对空气的速度¢，故飞行往返所需时间为

(2)按题意，当飞机向东时，风速与飞机相对与空气的速度同向；而飞机由东返回时，两者刚好反向。这时，飞机在往返飞行时，相对于地面的速度值分别为和。因此，飞行往返所需时间为

(3)当空气速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由可得为，则飞机往返所需时间为

题1.21：如图所示，一汽车在雨中沿直线行使，其速率为，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前角，速率为，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？
题1.21分析：这也是一个相对运动的问题。可视雨点为研究对象，地面为静参考系S，汽车为动参考系S¢。如图所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v¢2的方向)应满足。再由相对速度的矢量关系，即可求出所需车速v1.
解：由，有

而要使，则

题1.22：一人能在静水中以的速度划船前进，今欲横渡一宽为、水流速度为的大河。（1）他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？
题1.22解：(1)由可知，则船到达正对岸所需时间为

(2)由于，在划速v¢一定的条件下，只有当时，v最大(即)，此时，船过河时间，船到达距正对岸为l的下游处，且有

题1.23：一质点相对观察者运动，在任意时刻，其位置为，质点运动的轨迹为抛物线。若另一观察者以速率沿轴正向相对于运动，试问质点相对的轨迹和加速度如何？
题1.23解：取Oxy和O¢x¢y¢分别为观察者O和观察者O¢所在的坐标系，且使Ox和O¢x¢两轴平行。在t = 0时，两坐标原点重合。由坐标变换得

加速度
由此可见，动点相对于系O¢ 是在y方向作匀变速直线运动。动点在两坐标系中加速度相同，这也正是伽利略变换的必然结果。
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