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小升初--小学奥数复习
找规律法
例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？
12345，23451，34512，45123，…　　

解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.可见第100项及第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234.

练一练：有一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位数字（比如第三个数8就是2×9=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？

考点二 反向思维法
例1、在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分，李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况。

分析：从正面考虑，方法很多，可以列出方程来解答：
方法一：用枚举法列表求解，显得要简单一些
全做对
全做错
做对一部分
总分
数量
得分
数量
扣分
数量
得分
10
100
0
0
0
0
100
9
90
1
6
0
0
84
9
90
0
0
1
3
93
8
80
2
12
0
0
68
8
80
1
6
1
3
77
8
80
0
0
2
6
86

方法二：反向思维。从失分着手来计算：得77分，那么失了多少分。
1、如果10题全对，则得＿＿＿＿＿＿＿分。
2、如果做对一部分，只得3分，实际是从本题的分值也就是会应得的10分中，扣掉＿＿＿＿分。
3、如果做全错了，要扣6分，实际上是不仅本题的会应得的10分得不到，反而要再＿＿＿＿＿。
相当于从总分中扣＿＿＿＿＿分。
4、总失分＿＿＿＿＿＿＿，它的组成是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

练一练：
1、某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？

2、小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了.问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？

3、农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个.问原来篮中有蛋几个？

4、现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？

上楼梯问题
例1、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

分析：如果盲目地计算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：

时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：4×5=20（秒）。
练一练：
1、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？

2、某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？

3、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？

4、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

植树问题
例1、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
解：5分钟汽车共走了：9×（501-1）=4500（米），
汽车每分钟走：4500÷5=900（米），
汽车每小时走： 900×60=54000（米）=54（千米）
列综合式：9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）

练一练：
1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

2、在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？

3、在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。
例1 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）

例2 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

一、牛吃草问题之基本题
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

分析及解：牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。
设1头牛一天吃的草为1份。10头牛20天吃：200份，15头牛10天吃：150份，
200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。
原有草：（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份
所以，这片草地可供25头牛吃：100÷20＝5（天）。

二、牛吃草问题之检票问题

例2 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析及解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票1分钟检票的人数为1份。
4个检票30分钟通过：（4×30）份，
5个检票20分钟通过：（5×20）份，
说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
可以求出原有旅客为　　（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。

三、牛吃草问题之抽水问题
例3、 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

分析及解：先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是,可以求出先放过水的水量为　16－×8＝13　因为每分进，的以用的时间是13÷＝40分
答：出水管比进水管晚开40分钟。

四、牛吃草问题之天牛吃草
例4 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析及解：及例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，

相差：100-90 =10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。所以牧场原有草：20×5＋10×5＝150（份）。　　150÷10－10＝5头。

五、牛吃草问题之上楼梯问题

例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

分析及解：“扶梯的梯级总数”相当于 “总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。
男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），
女孩6分钟走了15×6＝90（级），
女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。
由男孩5分钟到达楼上，他走了20×5＝100级
扶梯5分钟本身上升10×5＝50级，
所以：100＋50＝150（级）。

练习：
1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

鸡兔同笼：
例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

解：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数及题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。
假设全是鸡，则足有：2×46＝92(只)
比总足数少的： 128－92＝36 (只)
这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，
所以：兔子有36÷2＝18 (只) 鸡有46－18＝28(只)

例2、鸡及兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡及兔各多少只？

分析 这个例题及前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚及兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚及兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

例3、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？

分析 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）= 18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。

练习：
1、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

2、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？

逻辑推理
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
　　第一盘，李明和小华对张虎和小红；
　　第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
　　第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
　　第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。

练习：
1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是2号，乙是3号.”
钱说：“丙是4号，乙是2号.”
孙说：“丁是2号，丙是3号.”
李说：“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

数的奇偶性：
例1、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明，该班同学得分总和一定是偶数。

【分析及解答】
解法一：先来考虑每一名参赛同学的得分情况，对于每个同学来说，50道都答对可得150分，是个偶数。如答错一题，就要从150分中减去（3+1）=4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，150减去偶数还是偶数。同样，如不答一题，就要从150分中减去（3－1）=2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，150减去偶数也还是偶数，因此，无论怎样，每个同学的得分都是偶数。任意多个偶数的和仍为偶数，因此全班同学的得分总和也是偶数。
解法二：设某个同学有m道题答对，则得3m分；有n道题答错，则减去n分；那么这个同学未答的题是50－m－n道，即得50―m―n分。于是该生实际得分为：
3m－n+（50－m－n）
=2m－2n+50
=2（m－n）+50
=2[（m－n）+25]为偶数
即每个同学的得分都是偶数。
因此，全班同学的得分总和一定是偶数。

练习：任意取出1994个连续的自然数，他们的总和是奇数还是偶数？

等量代换：
已知：（见下图）求：最大的球的重量是多少克？

解：由图（1）得：3●=2●+48，所以●=48（克）.
由图（2）得：3○=2●，即：3○=2×48，
所以○=2×48÷3=32（克）.
由图（3）得：○=4○=4×32=128（克）.

练习：
1、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的价钱及2个笔记本的价钱相等.求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？

定义新运算
典例1.定义一种运算△如下：a△b=3×a－2×b，
（1）求3△2，2△3；
（2）求这个运算“△”有交换律吗？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）如果已知4△b=2,求b。

解析：解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符合前面数的3倍减去运算符合后面数的2倍。
解：（1）3△2=3×3－2×2=9－4=5 2△3=3×2－2×3=6－6=0
（2）由（1）的运算结果可知“△”没有交换律。
（3）要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，17△6=3×17－2×6=39，再计算第二步39△2=3×39－2×2=113，所以（17△6）△2 =113.对于17△（6△2）可同样计算6△2=3×6－2×2=14，17△14=3×17－2×14=23，所以17△（6△2）=23.
（4）因为4△b=3×4－2×b=12－2b=2,解得b=5。

训练1:
1、规定a△b=2a＋b，如7△5=2×7＋5=19，计算：（1）9△8 （2）15△12

2、规定a△b=a×a－b×2，如7△5=7×7－5×2=49－10=39，
计算：（1）15△14 （2）8△4

典例2.x、y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x※y=mx＋ny，x△y=kxy,其中m、n、k均为自然数，已知1※2=5，（2※3）△4=64，求（1△2）※3的值。

解析：我们采用分析法，从要求入手，题目要求（1△2）※3的值，首先我们计算1△2的值，根据“△”的规定：1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道，所以首先要求出k的值，我们设1△2=a,(1△2)※3=a※3，根据“※”的规定a※3=ma＋3n，只有求出m、n，我们才能计算a※3的值，因此要计算（1△2）※3的值，我们就要先求出k、m、n的值。根据已知条件1※2=5可以求出m、n的值，再根据已知条件（2※3）△4=64可以求出k的值。

解：因为1※2=m×1＋n×2=m＋2n=5，且m、n均为非零自然数，所以解得：
m=1 m=2 m=3 m=4

n=2 n= (舍去) n=1 n= (舍去)
①当m=1，n=2时，（2※3）△4=（1×2＋2×3）△4=8△4=k×8×4=32k=64 解得 k=2
②当m=3，n=1时，（2※3）△4=（3×2＋1×3）△4=9△4=k×9×4=36k=64 解得 k=1
这及k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k=1这组解应舍去。所以当m=1，n=2，k=2时，（1△2）※3=（2×1×2）※3=4※3=1×4＋2×3=10

训练2：
1、对于任意整数A,B，定义新运算“△”：A△B=（其中M是一确定的整数），如果1△2=2，求2△9的值。

2、对于任意自然数x、y，定义新运算“※”如下：若x、y同奇或同偶，则x※y=（x＋y）÷2；若x、y的奇偶性不同，则x※y=（x＋y＋1）÷2。求4※5※6※8※11的值。

数的整除性
数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和及差也一定能被这个自然数整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
我们把学过的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除

例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
　　234，789，7756，8865，3728，8064。

解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。

例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0及5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

例4、五位数能被72整除，问：A及B各代表什么数字？

分析及解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

练习：
1、六位数5A634B能被33整除，求A+B。

2、七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。

递推：
例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？

解：

假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….如图可见。
a0＝1　　a1=a0+1＝2　　a2=a1＋2=4　　a3=a2＋3=7　　a4=a3+4＝11
　　…
归纳出递推公式an＋1＝an+n. （1）
即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。

要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变形：
∵an=an-1+n=nn-2＋（n-1）＋n=an-3+（n-2）＋（n-n）+n

公式（2）也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式.

练习：
1：①1，5，9，13，17，（ ）。
②0.625，1.25，2.5，5，（ ）。

④198，297，396，495，（ ），（ ）。

利润问题：
例1一件商品如果以八折出售，可以获得相当于进价20%的毛利，那么如果以原价出售，可以获得相当于进价百分之几的毛利? （ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%

解析：利润问题的核心是求成本，如果商品的原价为1，销售价是八折，那么八折的销售价为1×0.8＝0.8，以这个价格销售可获得20%的毛利（利润率），我们可依据公式，成本＝求出商品的成本为 ＝＝，然后可根据 利润率＝＝求出以原价销售时的利润率，即利润率＝＝＝50%

例2 一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低，为了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30%，请问现在每件衣服进价是多少元? （ ）
A．28 B．32 C．40 D．48

解析：这道题有些特殊，命题人避开了“成本不变”这个一般规律，明确提出将“成本”变化了，然后来考学生。这也并不可怕，抓住利润问题的基本公式解之即可。
衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元，则此时衣服的销售价格是60元＋40元＝100元。当以八折销售时，销售价格为100元×0.80＝80元，而此时的利润根据题意比过去增加了30%，即40×（1+30%）＝52元，从而可得成本＝80元－52元＝28元。综上，本题选择A。

例3 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，则他在这次买卖中 （ ）
A．不赔不赚 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元

解析：可运用利润问题的核心公式，也可以根据比例问题的基本知识解决。
根据利润问题的核心公式成本＝，第一件上衣成本=135/（1+25%）=108，第二件上衣成本135/（1-25%）=180（亏损即利润率为负），由此可得总成本为288元，而总销售额为270元。所以，赔了18元，正确答案为C。

例4 一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低，为了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30%，请问现在每件衣服进价是多少元?( )2003B
A．28 B．32 C．40 D．48

『答案』 C
『解析』 过去的销售价格=60元＋40元=100元，促销八折价格销售也即现在的销售价=80元，此时的利润=40×（1＋30%）=52，则成=80－52=28。

夯实基础：
例1、出售甲种产品的利润是25%，乙种产品利润是20%，如果分别各用2000元购进甲、乙两种产品，共获利多少元？如果两种产品一起买可以优惠15%，此时的售价是多少？

例2、一件商品按30%的利润定价，然后又按八折出售，结果赚了64元，这件商品的成本是多少元？

例3、一件商品如果按原价出售可以盈利25%，如果降价30%出售，则要亏本30元，那么这件产品的进价是多少元？

例4、某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。已知按定价打八五折出售8个获得的利润及按定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这种商品每个定价多少元？

例5、某商店从外地购进360个玻璃制品，运输时损坏了40个，剩下的按进价以117%售出，商店可盈利百分之几？

时钟问题
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度

垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针及分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
还可以理解，一周是12格，秒针转1分是12格，分针转一分是，格，时针转1分是，。
还可以理解一周是360°，秒针转1分是360°分针转一分是1°，时针转1分是0.5°。

例1、现在是2点，什么时候时针及分针第一次重合？

分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面

例2 在7点及8点之间，时针及分针在什么时刻相互垂直？

分析及解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5×7＝35（格）。时针及分针垂直，即时针及分针相差15格，在7点及8点之间，有下图所示的两种情况：

　　（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需

　　（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需

例3 在3点及4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？

分析及解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。时针及分针在一条直线上，可分为时针及分针重合、时针及分针成180°角两种情况（见下图）：

　　（1）时针及分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷　

　　（2）时针及分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30

例4、3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？

分析及解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。

例5 、晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针及时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？

分析及解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为

例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好及开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？

分析及解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：
时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。
两针所行的时间是：

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