高二数学寒假课程第10讲导数应用.doc

高二数学寒假课程第10讲-导数应用
第十讲 导数的应用
【知识梳理】
1.函数的单调性：在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a，b）内单调递增，则，是在（a，b）内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.
一般地，当函数在点处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值.
（2）如果在附近的左侧 ，右侧，那么 是极小值.
注：导数为0的点不一定是极值点
【考点一：导数及函数的单调性】
在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a，b）内单调递增，则，是在（a，b）内单调递增的充分不必要条件.
【例1】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
【解析】（Ⅰ）由的图象经过，知， 所以.
所以.
由在处的切线方程是，
知，即，.
所以 即 解得.
故所求的解析式是
（Ⅱ）因为， 令，即，
解得 ，.
当或时，，
当时，，
故在内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数. 　
【例2】若在区间[－1，1]上单调递增，求的取值范围.
【解析】又在区间[－1，1]上单调递增
在[－1，1]上恒成立 即在 [－1，1]时恒成立.
，的取值范围为
【例3】已知函数，，设.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
【解析】（Ⅰ），
∵，由，∴在上单调递增.
由，∴在上单调递减.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ），
恒成立
当时，取得最大值.
∴，∴amin=.
【课堂练习】
1.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好及直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）的图象经过点 ∴
∵，∴
由已知条件知 即
∴解得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令则或
∵函数在区间上单调递增 ∴
∴或 即或
2.设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为
（1）若方程的表达式；
（2）若的最小值.
【解析】（1）根据导数的几何意义知，
由已知-2、4是方程的两个实根
由韦达定理，
（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有

其中点（—2，3）距离原点最近，
所以当有最小值13
3.已知函数 ，.当 时，讨论函数 的单调性.
【解析】∵，
（1）当时，若为增函数；
为减函数；
为增函数.
（2）当时，为增函数；
为减函数；为增函数.
【考点二: 导数及函数的极值最值】
1.求函数的极值的步骤:
（1）确定函数的定义域，求导数 .
（2）求方程的根.
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.
2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值.
（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.
【例4】若函数在处取得极值，则 .
【解析】因为可导，且，
所以，解得.
经验证当时， 函数在处取得极大值.
【例5】已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.
【解析】（Ⅰ），
令，所以在上递减，在上递增；
（Ⅱ）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（Ⅰ）知，函数在区间上递减，
上递增，
所以；
当时，函数在区间上递减，
所以.
【例6】设是函数的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.
【解析】（1）
由已知得：
（2）x变化时.的变化情况如表：

（0，1）
1
（1，2）
2

—
0
+
0
—

极小值

极大值

故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值.
【课堂练习】
4.设.若在上存在单调递增区间，求a的取值范围.
【解析】在上存在单调递增区间，
即存在某个子区间 使得.
由，
在区间上单调递减，则只需即可.
由解得，
所以，当时，在上存在单调递增区间.
5.设，.
（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论及的大小关系；
【解析】（1）由题设知，∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.
当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值为
（2），设，则，
当时，，即，当时，，
因此，在内单调递减，当时，，即
6.已知函数
（Ⅰ）证明：曲线
（Ⅱ）若，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ） ，，又
曲线的切线方程是：，
在上式中令，得.
所以曲线
（Ⅱ）由得，
（i）当时，没有极小值；
（ii）当或时，由得
故.
由题设知，
当时，不等式无解；
当时，解不等式得
综合（i）（ii）得a的取值范围是.
【例7】 当时，求证
【解析】设函数
当时， ，故在递增，
当时，，
又，，即，
故.
【例8】已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
【解析】（Ⅰ） f（x）的定义域为（0，+），.
当a≥0时，＞0，故f（x）在（0，+）单调增加；
当a≤－1时，＜0， 故f（x）在（0，+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.
当x∈（0， ）时， ＞0；
x∈（，+）时，＜0，
故f（x）在（0， ）单调增加，在（，+）单调减少.
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f（x）在（0，+）单调减少.
所以等价于，
即
令，则+4＝.
于是≤＝≤0.
从而在（0，+）单调减少，故，
故对任意x1，x2∈（0，+） ，.　　
【例9】设函数.
（Ⅰ）若为函数的极值点，求实数；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈，恒有≤4成立.
【解析】（Ⅰ），
解得 或，检验知符合题意
（Ⅱ）在∈时恒成立
当时，显然恒成立
当时 由得在∈时恒成立
在∈时恒成立
令，
在单调递增 ∴

时，单调递减 ，时单调递增
∴ ∴
【课堂练习】
7.已知函数（）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：<
【解析】（1）函数f（x）的定义域为，
①当时，>0，f（x）在上递增
②当时，令得解得：
，因（舍去），
故在上<0，f（x）递减；
在上，>0，f（x）递增.
（2）由（1）知在内递减，在内递增.

故，
又因故，
得
8.已知函数.
（Ⅰ）若，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
【解析】（Ⅰ）， ，
题设等价于.
令，则
当，；当时，，
故是的最大值点，，
综上，a的取值范围是.
（Ⅱ）有（Ⅰ）知，即.
当时，；
当时，

所以
9.设函数，其中常数a>1
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性; （Ⅱ）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数.
综上，当时在区间和是增函数，在区间是减函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在或处取得最小值.

由假设知 即解得1<a<6
故的取值范围是（1，6）
【例11】（ 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度及所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A及城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度及所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度及所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.
【解析】（1）如图，
A
B
C
x

由题意知AC⊥BC，，

其中当时，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2），，
令得，所以，即，
当时， ，即，故函数为减函数，
当时， ，即，故函数为增函数.
所以当时， 即当C点到城A的距离为时，
函数有最小值.
【课堂练习】
10.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅及其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.

【解析】（Ⅰ）设容器的容积为V，由题意知
故
由于，因此
所以建造费用
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
由于 当
令，所以
①当时，

所以是函数y的极小值点，也是最小值点.
②当即时，当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
【巩固练习】
基础训练（A类）
1.曲线在点处的切线方程为 （ ）

2.曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ）
（A）y=2x+1 （B）y=2x-1 （C） y=-2x-3 （D）y=-2x-2
3.若曲线在点处的切线方程是，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
4.函数f（x）=xlnx（x>0）的单调递增区间是 .
5.若函数在处取极值，则
6.设函数.
（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

7.设函数，求函数的单调区间及极值.

8.设函数，
（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于.

9.设函数，其中.证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值.

10.设函数f（x）=x2+b ln（x+1），其中b≠0.
（Ⅰ）当b>时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln（）都成立.

【参考答案】
1.【答案】 D
【解析】 ，，
∴切线方程为，即.
2.【答案】A
【解析】，所以，故切线方程为.
3.【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，在切线，∴
4.【答案】
【解析】由可得
5.【答案】3
【解析】＝，f′（1）＝＝0 Þ a＝3
6.【解析】
（1）由已知有，从而，所以；
（2）由，
所以不存在实数，使得是上的单调函数.
7.【解析】由
从而
当x变化时，变化情况如下表：

8.【解析】（Ⅰ），依题意有，故.
从而.
的定义域为，当时，；
当时，；当时，.
从而，分别在区间单调增加，
在区间单调减少.
（Ⅱ）的定义域为，.
方程的判别式.
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值
（ⅱ）若，则或.
若，，.
当时，，
当时，，所以无极值.
若，，，也无极值.
（ⅲ）若，即或，
则有两个不同的实根，
.
当时，，从而在的定义域内没有零点，
故无极值.
当时，，，
在的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知在取得极值.
综上，存在极值时，的取值范围为.
的极值之和为
.
9.【解析】因为，所以的定义域为.
.
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减.
所以当，函数没有极值点.
当时，
令，得（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：

0

↘
极小值
↗
从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，
极小值为.
当时，随的变化情况如下表：

0

↘
极大值
↗
从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，
极大值为.
综上所述，当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为.
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.
10.【解析】（Ⅰ）函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
故.
当时，，
在上恒成立.

即当时，函数在定义域上单调递增.
（Ⅱ）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，时，
时，函数在上无极值点.
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0，在上小于0 ，
此时有个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点
和一个极小值点；
时，函数在上无极值点.
（Ⅲ）当时，
令则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
提高训练（B类）
1． 曲线在点处的切线及坐标轴所围三角形的面积为 （　　）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
2.设函数则 （ ）
A在区间内均有零点.
B在区间内均无零点.
C在区间内有零点，在区间内无零点.
D在区间内无零点，在区间内有零点.
3. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
4.已知定义在正实数集上的函数，其中.设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求的最大值.
5.已知函数的减区间是.
（1）试求m、n的值；
（2）求过点且及曲线相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在及曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.

6.已知函数图像上的点处的切线方程为.
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围

7.设函数，已知和为的极值点.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较及的大小.

8.已知函数
（Ⅰ）如果，求的单调区间；
（Ⅱ）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.

9.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线及直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

【参考答案】
1.【答案】D
【解析】已知曲线在点处的切线斜率为，
因此切线方程为则切线及坐标轴交点为
所以
2.【答案】D
【解析】由题得，
令得；令得；得，
故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，
在点处有极小值；
又，故选择D.
3.【答案】
【解析】由题意该函数的定义域，由.
因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，
问题转化为范围内导函数存在零点.
解法1（图像法）再将之转化为及存在交点.
当不符合题意，
当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是.

解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程在内有解，
显然可得
4.【解析】（1）设及在公共点处的切线相同，

由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）则有
（2）设及在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
令，则，
于是当，即时，；
当，即时，
故在的最大值为，故的最大值为
5.【解析】⑴ 由题意知：的解集为，
所以-2和2为方程的根，
由韦达定理知 ，即m=1，n=0.
⑵ ∵，∴，∵
当A为切点时，切线的斜率 ，
∴切线为，即；
当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
切线方程为，即
因为过点A（1，-11），，
∴，
∴ 或，而为A点，即另一个切点为，
∴ ，
切线方程为 ，即
所以，过点的切线为或.
⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点是曲线的切点，
则在P点处的切线的方程为 即
因为其过点A（1，t），所以，，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设，只要使曲线有3个零点即可.
设 =0， ∴ 分别为的极值点，
当时，在和 上单增，
当时，在上单减，
所以，为极大值点，为极小值点.
所以要使曲线及x轴有3个交点，当且仅当即，
解得.
6.【解析】，
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即，
又得
（1）函数在时有极值，所以，
解得，
所以.
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，
则得，所以实数的取值范围为
7.【解析】（Ⅰ）因为，
又和为的极值点，所以，
因此 解方程组得，.
（Ⅱ）因为，，所以，
令，解得，，.
因为当时，；当时，.
所以在和上是递增的；在和上是递减的.
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，
令，则.
令，得，因为时，，
所以在上单调递减.故时，；
因为时，，所以在上单调递增.
故时，.
所以对任意，恒有，又，因此，
故对任意，恒有.
8.【解析】（Ⅰ）当时，，
故

当当
从而单调减少.
（Ⅱ）
由条件得：
从而
因为
所以

将右边展开，及左边比较系数得，
故
又由此可得
于是
9.【解析】（Ⅰ），于是
解得 或因为，所以.
（Ⅱ）已知函数都是奇函数，
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.
而函数.
可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，
故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.
（Ⅲ）在曲线上任一点.
由知，过此点的切线方程为
.
令得，切线及直线交点为.
令得，切线及直线交点为.
直线及直线的交点为（1，1）.
从而所围三角形的面积为.
所以， 所围三角形的面积为定值2.
综合迁移（C类）
1.已知函数其中为常数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有

2.已知函数，，其中R.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

3.设
（1）若，求过点（2，）的直线方程；
（2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.

4. 已知函数，x∈R.（其中m为常数）
（ⅠI）当m=4时，求函数的极值点和极值；
（Ⅱ）若函数在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围.

5. 已知函数.
（Ⅰ）若，令函数，求函数在上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数在上恒为单调递增函数，求实数的取值范围.

6.已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.

7.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好及直线垂直.
（1）求实数的值.
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

8.已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线及x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数的极值.

9.已知函数，其定义域为 （），设.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）试判断的大小并说明理由.

10.已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围.

【参考答案】
1.【解析】（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，
当时，，
所以.
①当时，由得，，
此时.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
②当时，恒成立，所以无极值.
综上所述，时，当时，无极值
当时，在处取得极小值，
极小值为.
（Ⅱ）当时，.
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明.
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
因此当时，，即成立.
故当时，有.即.
2.【解析】（Ⅰ）的定义域为，且，
①当时，，在上单调递增；
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ），的定义域为

因为在其定义域内为增函数所以，

而，当且仅当时取等号，所以
3.【解析】（1）由得
故
∵
故过点（2，）的直线方程为，即
（2）由
令在其定义域（0，+）上单调递增.
只需恒成立
由上恒成立
∵，∴，∴，∴
综上k的取值范围为
4.【解析】函数的定义域为R
（Ⅰ）当m＝4时，f（x）＝ x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，
令 ， 解得或.令 ， 解得， 
列表如下：

0
-
0

↗

↘

↗
所以函数的极大值点是，极大值是；极小值点是，极小值是.
（Ⅱ）＝x2－（m＋3）x＋m＋6，要使函数在（0，＋∞）有两个极值点，
则，解得m＞3.
5.【解析】（Ⅰ），
所以，由得或

↘

↗

↘
所以函数在处取得极小值；在处取得极大值
（Ⅱ） 因为的对称轴为
①若即时，
要使函数在上恒为单调递增函数，则有，
解得：，所以；
②若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，
则有，
解得：，所以；
综上，实数的取值范围为
6.【解析】（1）由奇函数定义，有.
即
因此，
由条件为的极值，必有
故 ，解得
因此
当时，，故在单调区间上是增函数.
当时，，故在单调区间上是减函数.
当时，，故在单调区间上是增函数.
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由（1）知，是减函数，
且在上的最大值为最小值为
所以，对任意恒有
7.【解析】（1）的图象经过点，故
又，则
由条件即
解得
（2），
令得或
函数在区间上单调递增，
则
或即或
8.【解析】（Ⅰ）.
因为曲线在点处的切线及x轴平行，
所以 ，即
所以 .
（Ⅱ）. 令，则或.
①当，即时，，
函数在上为增函数，函数无极值点；
②当，即时.

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是；
③当，即时.

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以 当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是.
综上所述，当时函数无极值；
当时，当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是；
当时，当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值.
9.【解析】（1） 令，则或，
在上单调递增，在上单调递减，
①若，则在上单调递增，，即
②若，则在上单调递增，在上单调递减
又，，即
③若，则在上单调递增，在上单调递减
，即，综上，.
10.【解析】（1）由，得.
取，得，解之，得，
（2）因为.
从而，列表如下：

1

＋
0
－
0
＋

↗
有极大值
↘
有极小值
↗
∴的单调递增区间是和；的单调递减区间是.
（3）函数，
有=（–x2– 3 x+C–1）ex，
当函数在区间上为单调递增时，
等价于h（x）= –x2– 3 x+C–1³0在上恒成立，
只要h（2）³0，解得c ³11，
当函数在区间上为单调递减时，
等价于h（x）= –x2– 3 x+C–1£0在上恒成立， 即=，
解得c £ –，
所以c的取值范围是c ³11或c £ –.
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