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张公初级中学数学竞赛
2017-2018学年度张公初级中学数学素养测试试卷

一、选择题（每小题7分，共56分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．
1．a、b、c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc=7，则a﹣c等于（　D　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣7 C．1 D．1或7
2．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（　B　）
A．4527 B．5247 C．5742 D．7245
3．1989年，我国的GDP（国民生产总值）只相当于英国的53.3%，目前已相当于英国的81%，如果英国目前的GDP是1989年的m倍，那么我国目前的GDP约为1989年的（　　）
A．1.5倍 B．1.5m倍 C．27.5倍 D．m倍
4．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
5．已知a为整数，关于x的方程a2x﹣20=0的根是质数，且满足|ax﹣7|＞a2，则a等于（　　）
A．2 B．2或5 C．土2 D．﹣2
6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
7．边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是（　　）
A．570 B．502 C．530 D．538
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD及CB﹣CD的大小关系不确定

二、填空题（每小题7分，共84分）
9．多项式x2+y2﹣6x+8y+7的最小值为 　　．
10．已知=1，则的值等于 　　．
11．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为　　mm．

12．某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为
为　　．
13．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（α+β+γ）的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则α+β+γ=　　°．
14．设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，则a=　　．
15．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC=　　．
16．小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分．后来又加试了一门，小王考得70分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分，则小王共考了（含加试的两门）　　门课程，最后平均成绩为　　分．
17．已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是　　．
18．计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是　　．
19．有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池，则能买 　　只．
20．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为　　．

三、解答题（10分）【九年级考生在21题、22题任选一题，七、八年级考生不做】
21.如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

(1)若Q点运动的速度及P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD及△CQP是否全等，并说明理由；
(2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD及△CQP全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P及点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
22.如图，直线y=kx-3及x轴、y轴分别交于点B，C， = .

(1)求点B坐标和k值；
(2)若点A（x,y）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S及x的函数关系式（不要求写自变量范围）；并进一步求出点A的坐标为多少时，△AOB的面积为 ？
(3)在上述条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由.

2017-2018学年度张公初级中学数学素养测试试卷
参考答案及试题解析

一、选择题（每小题7分，共56分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．
1．a、b、c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc=7，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣7 C．1 D．1或7
【考点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法．
【分析】此题先把a2﹣ab﹣ac+bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解答】解：根据已知a2﹣ab﹣ac+bc=7，
即a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=7，
（a﹣b）（a﹣c）=7，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a﹣c＞0，
∵a、b、c是正整数，
∴a﹣c=1或a﹣c=7
故选D．

2．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（　　）
A．4527 B．5247 C．5742 D．7245
【考点】排列及组合问题．
【分析】首先找到以2开头的四位数的个数，然后再找到以4开头的四位数的个数，这些数共有12个，则第13个数从5开头，找出这个最小的四位数即可．
【解答】解：千位上是2的四位数的个数有3×2×1=6个，
千位上是4的四位数的个数有3×2×1=6个，
即可知排在第13个四位数是千位上是5，
又知这些从小到大排列，第13个数为5247，
故选B．

3．1989年，我国的GDP（国民生产总值）只相当于英国的53.3%，目前已相当于英国的81%，如果英国目前的GDP是1989年的m倍，那么我国目前的GDP约为1989年的（　　）
A．1.5倍 B．1.5m倍 C．27.5倍 D．m倍
【考点】列代数式．
【分析】可以把英国1989年的GDP看作单位1，然后分别表示我国目前的GDP和1989年的GDP，求比即可．
【解答】解：根据题意得：我国目前的GDP约为1989年的m≈1.5m倍．
故选B．

4．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】分式的值；整式的除法．
【分析】首先把分式转化为3+，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
【解答】解： ==3+
当2x﹣1=±6或±3或±2或±1时，是整数，即原式是整数．
当2x﹣1=±6或±2时，x的值不是整数，当等于±3或±1是满足条件．
故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和±1．
故选B．

5．已知a为整数，关于x的方程a2x﹣20=0的根是质数，且满足|ax﹣7|＞a2，则a等于（　　）
A．2 B．2或5 C．土2 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】本题是道选择题，可用排除法进行选择．
【解答】解：当a=2时，x=5是质数，但|ax﹣7|=|2×5﹣7|=3＜4，所以不选A，C．
当a=5时，x=不是质数，所以不选B．
当a=﹣2时，x=5是质数，同时满足|ax﹣7|=|﹣2×5﹣7|=17＞4，所以选D．
故选D．

6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】等腰三角形的判定；坐标及图形性质．
【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．
【解答】解：第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA=PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，及AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，及BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，及BC在右边交于点P；
∴符合条件的点P有6个点．
故选C．

7．边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是（　　）
A．570 B．502 C．530 D．538
【考点】几何体的表面积．
【分析】先求出边长分别是3、5、8的三个正方体的表面积的和，再减去边长是3的两个正方形的面积和的4倍、边长是5的两个正方形的面积和的2倍，即为所求．
【解答】解：（3×3+5×5+8×8）×6﹣（3×3）×4﹣（5×5）×2
=98×6﹣9×4﹣25×2
=588﹣36﹣50
=502．
故选B．

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD及CB﹣CD的大小关系不确定
【考点】全等三角形的判定及性质；三角形三边关系．
【分析】在AB上截取AE=AD，则易得△AEC≌△ADC，则AE=AD，CE=CD，则AB﹣AD=BE，放在△BCE中，根据三边之间的关系解答即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB﹣AD=AB﹣AE=BE，BC﹣CD=BC﹣CE，
∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故选A．

二、填空题（每小题7分，共84分）
9．多项式x2+y2﹣6x+8y+7的最小值为 　﹣18　．
【考点】完全平方式；非负数的性质：偶次方．
【分析】将原式配成（x﹣3）2+（y+4）2﹣18的形式，然后根据完全平方的非负性即可解答．
【解答】解：原式=（x﹣3）2+（y+4）2﹣18，
当两完全平方式都取0时原式取得最小值=﹣18．
故答案为：﹣18．

10．已知=1，则的值等于 　0　．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据已知条件可求出a﹣b=﹣ab，再把a﹣b的值整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵=1，
∴b﹣a=ab，
∴a﹣b=﹣ab，
∴==0．
故答案是0．

11．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为　96　mm．

【考点】矩形的性质．
【分析】题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可．
【解答】解：如图：矩形的长为24mm，AB+CD+GH+EF+4=24．
∵GD=HE=4．
∴矩形的周长为24+GD+HE+20+24+16+4=96mm．
故答案为：96．

12．某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为
为　12r2﹣3πr2．　．
【考点】面积及等积变换．
【分析】首先理解题意，求出（1）的面积，根据砂轮磨不到的部分的面积为12个图（1）的面积，计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
则OA⊥AB、OC⊥BC，OA=OC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形OABC是正方形，且OA=r，
∴图形（1）的面积是r•r﹣πr2，
∴砂轮磨不到的部分的面积为 12（r•r﹣πr2）=12r2﹣3πr2．
故答案为：12r2﹣3πr2．

13．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（α+β+γ）的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则α+β+γ=　345　°．
【考点】角的计算．
【分析】分别计算15×23°=345°，15×24°=360°，15×25°=375°，则345°、360°、375°三个数值其中一个是α、β、γ三个角的和，由于三角中，有两个锐角，一个钝角，根据锐角和钝角的定义知，α+β+γ＜360°，所以345°是正确的．
【解答】解：∵α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，
∴0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，
∴α+β+γ＜360°，
∵15×23°=345°，15×24°=360°，15×25°=375°，
∴α+β+γ=345°．
故答案是345°

14．设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，则a=　2　．
【考点】余式定理．
【分析】首先由多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，根据余式定理可设x3+ax2+1﹣（x+3）=（x2﹣1）（x+b），然后分别整理等式的左右两边，再根据多项式相等时对应系数相等，即可得方程，则可求得a的值．
【解答】解：∵多项式x3+ax2+1除以x2﹣1所得的余式为x+3，
∴可设x3+ax2+1﹣（x+3）=（x2﹣1）（x+b），
整理可得：x3+ax2﹣x﹣2=x3+bx2﹣x﹣b，
∴，
∴a=2．
故答案为：2．

15．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC=　120°或60°　．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理．分∠BOC在△ABC内，及∠BOC在△ABC外两种情况讨论．
【解答】解：若∠BOC在△ABC内，
如下图：

∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BOC=360°﹣∠A﹣∠ADO﹣∠AEO=120°；
若∠BOC在△ABC外，
如下图：

∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BOC=90°﹣∠DCO=90°﹣∠ACE=∠A=60°．
故答案为：120°或60°．

16．小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分．后来又加试了一门，小王考得70分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分，则小王共考了（含加试的两门）　10　门课程，最后平均成绩为　88　分．
【考点】二元一次方程组的应用；加权平均数．
【分析】可以设小王前面共考了x门课程，平均成绩为y分．根据加试了一门比最初的平均成绩提高了1分．加试了二门比最初的平均成绩下降了1分．可以分别列方程，解方程组即可．
【解答】解：小王前面共考了x门课程，平均成绩为y分，根据题意得：
，
解得：．
即小王共考了（含加试的两门） 8+2=10门课程，最后平均成绩为 89﹣1=88分．
故答案为：10，88．

17．已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是　﹣2＜＜﹣　．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】首先将a+b+c=0变形为b=﹣a﹣c．再将b=﹣a﹣c代入不等式a＞b，b＞c，解这两个不等式，即可求得a及c的比值关系，联立求得的取值范围．
【解答】解：∵a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0 ①
∴b=﹣a﹣c，且a＞0，c＜0
∵a＞b＞c
∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c ②
解得＞﹣2，
将b=﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c ③
解得＜﹣，
∴﹣2＜＜﹣．
故答案为：﹣2＜＜﹣．

18．计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是　5　．
【考点】计算器—有理数；倒数．
【分析】设原来输入的数为a，根据题意列出方程﹣1=﹣0.75，解之可得答案．
【解答】解：设原来输入的数为a，
根据题意，得：﹣1=﹣0.75，
解得：a=5，
经检验：a=5是分式方程的解，
∴原来输入的某数是5，
故答案为：5．

19．有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池，则能买 　48　只．
【考点】三元一次方程组的应用．
【分析】先设买一只A型的价格是x元，买一只B型的价格是y元，买一只C型的价格是z元，能买C型W只根据题意列出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：设买一只A型的价格是x元，买一只B型的价格是y元，买一只C型的价格是z元，能买C型W只，
根据题意得：，
解得：代入4x+18y+16z=Wz得：
W=48．
故答案为：48．

20．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为　4　．

【考点】全等三角形的判定及性质．
【分析】可延长DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．
【解答】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD，
∴SABCDE=2S△ADF=2וDF•AE=2××2×2=4．
故答案为：4．

三、解答题（10分）
　21.【答案】（1）解：∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，  
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）解：∵vP≠vQ ， ∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 秒，
∴vQ= cm/秒；
（3）设经过x秒后点P及点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得x= ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
∴80=56+24=2×28+24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 秒点P及点Q第一次在边AB上相遇．
22.【答案】（1）（1）∵直线y=kx-3及y轴的交点为C（0,-3）
∴OC＝3
∵ =
∴OB＝
∴B点坐标为（ ,0）
将B（ ,0）代入y=kx-3,得
k-1=0
解得k=2.
（2）解：由（1）可知直线的解析式是y=2x-3,
S＝ ×OB×yA
= × ×(2x-3)
= x-
即：三角形AOB的面积S及x的函数关系式为S= x- ，
当S= 时， x- = ，解得x=3,则2x-3=3,即A（3,3）.
所以当点A的坐标为（3,3）时，△AOB的面积为 ？
（3）解：存在.由（2）得A（3,3），AO=3 ，∠AOB=45°，
当OP=AO=3 时，P（3 ，0）或P（-3 ，0）；
当AP=OA=3 时，∠APO=∠AOP=45°，则OP= OA=6，P（6,0）；
当OP=AP时，P（3,0）.

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