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初二数学下知识点
张铭乾 2011-1-16
初二下数学知识点回顾

分式
知识要点 1．分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子及分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
（M为不等于零的整式）
3．分式的运算 (分式的运算法则及分数的运算法则类似)．
(异分母相加，先通分)；
4．零指数 5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
7、列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。
1. (-5)0 =_____； 2. 3-2 =________；3. 当x_________时，分式 有意义；
4. 写出等式中未知的式子：= ；
5. 约分：=______________；
6. 分式：、的最简公分母为：______；
7. 若方程=2 + 有增根，则增根为x=______；
8. 当x=______时，分式的值为1 ；9. 若x=2是方程 = 的解，则a=______；
10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；
11. 已知公式：= + ，若R1 =10，R2=15，则R=___________；
12. 观察下列各式： + =2， + =2， + =2， + =2，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式 + =2成立
13. 下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A. 3x= B. =2 C. = D.3x-2y=1
14. 下列各式中，成立的是（ ）
A. = B. = m3 C. = D. =
15. 要把分式方程：= 化为整数方程，方程两边需同时乘以（ ）
A. 2（x-2） B.x C. 2x-4 D. 2x（x-2）
16. -(-2)0的运算结果为（ ）
A. -1 B. 1 C. 0 D. 2
17. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
18. 若有m人a天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n）人完成这项工程所需的天数为（ ）
A. a + m B. C. D.
19.计算：÷; 20.计算：+

21．解方程：= ; 22.解方程：+2 =
23.先化简，再求值：（+ ）÷，其中x=2007.

24.已知y = ÷ - +1，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论x为何值，y的值不变。
25.为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自07年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25% 。该市林老师家06年12月份的水费是18元，而07年1月份的水费是36元，且已知林老师家07年1月份的用水量比06年12月份的用水量多6m3。求该市去年的居民用水价格。
26.已知某项工程由甲、乙两队合作12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费比乙队多150元。
⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；
⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，以节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由。
正比例、反比例、一次函数
第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；
x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，
若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标及纵坐标互为相反数；
若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。
1、 一次函数，正比例函数的定义
（1）如果y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),那么y叫做x的一次函数。
（2）当b＝0时，一次函数y=kx+b即为y=kx(k≠0).这时，y叫做x的正比例函数。
注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
2、正比例函数的图象及性质
（1）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过（0，0）（1，k）的一条直线。
（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx经过一、三象限从左到右直线上升。
当k<0时y随x的增大而减少直线y＝kx经过二、四象限从左到右直线下降。
3、一次函数的图象及性质
（1） 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过（0，b）（－，0）的一条直线。
注：（0,b）是直线及y轴交点坐标，（－，0）是直线及x轴交点坐标.
（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx+b(k≠0)是上升的
当k<0时y随x的增大而减少直线y＝kx+b(k≠0)是下降的
4、一次函数y=kx+b(k≠0, k b 为常数)中k 、b的符号对图象的影响
（1）k>0, b>0直线经过一、二、三象限
（2）k>0, b<0直线经过一、三、四象限
（3）k<0, b>0直线经过一、二、四象限
（4）k<0, b<0直线经过二、三、四象限
5、对一次函数y=kx+b的系数k, b 的理解。
（1）k(k≠0)相同，b不同时的所有直线平行，即直线:y=kx+b；直线:y=kx+b( k，k均不为零，k，b，k， b为常数)
k=k k=k
∥ 及重合
b≠b b=b
（2）k(k≠0)不同，b相同时的所有直线恒过y轴上一定点（0,b），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=x+3均交于y轴一点（0，3）
6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可由公式︱b－b︱得到，其中b，b是两直线及y轴交点的纵坐标，直线沿x轴平移多少个单位，可由公式︱x－x︱求得，其中x，x是由两直线及x轴交点的横坐标。
7、直线y=kx+b(k≠0)及方程、不等式的联系
（1）一条直线y=kx+b(k≠0)就是一个关于y的二元一次方程
（2）求两直线:y=kx+b(k≠0)，:y=kx+b(k≠0)的交点，就是解关于x，y的方程组　　y=kx+b 　y=kx+b
(3)若y>0则kx+b>0。若y<0，则kx+b<0
(4)一元一次不等式，y≤kx+b≤y( y，y都是已知数，且y<y)的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y≤y那条线段所对应的自变量的取值范围。
（5）一元一次不等式kx+b≤y(或kx+b≥y)( y为已知数)的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y(或y≥y)那条射线所对应的自变量的取范围。
8、确定正比例函数及一次函数的解析式应具备的条件
（1）由于比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。
(2) 一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y的值。
9、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果,那么，y是x的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质
当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
(3)由于比例函数中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。
１、函数中，自变量x的取值范围为 .
2、若函数y= -2xm+2是正比例函数，则m的值是 .
3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。
4、已知点A（3，m）及点B（n，-2）关于y轴对称，则m= ，n= .
5、点 P（3，－4）关于X轴对称的点是__________。
6、一次函数y= -2x+4的图象及x轴交点坐标是 ，及y轴交点坐标是 ,
图象及坐标轴所围成的三角形面积是 .
7、将直线 y＝3x + 4 向下平移6个单位，得到直线________________。
8、点 P（a，a－2）在第三象限，则 a 的取值范围是___ _ .
9、已知-2及成反比例，当=3时，=1，则及间的函数关系式为 ；
10、 设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________
11、已知点在第二、四象限夹角的平分线上，且到轴的距离为，则点的坐标为_________________。
12.函数中，自变量x的取值范围是 ( )
A. x < 1 B. x ≤ 1 C. x > 1 D. x ≥1
13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为4，3，则点的坐标为（ ）
A、（4，－3） B、（3，－4） C、（－3，4） D、（－4，3）
14．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A、（－1，2） B、（－1，－2） C、（1，－2） D、（2，－1）
15. 一次函数y=－2x+3的图像不经过的象限是（ ）.
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
16．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)及登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
17、如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（　　　）
A、第一、三象限　 B、第一、二象限 　 C、第二、四象限　 D、第三、四象限
18、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、－1或1 　 B、小于 的任意实数 C、－1　　　Ｄ、不能确定
y
x
y
x
y
x
y
19、正比例函数- k例函数在同一坐标系内的图象为（ ）
o
o
o
x
o

A B C D
A
B
O
x
y
20、如右图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若S△AOB＝3，则的值为（ ） A、6 B、3 C、 D、不能确定

21、已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点。 ⑴求这个一次函数的解析式；⑵如图，梯形的顶点在这个一次函数的图象上，顶点在已知反比例函数的图象上，两底及轴平行，且点的横坐标分别为2和4，求梯形的面积。
22、如图，矩形的边分别在轴和轴上，且点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，距离轴3个单位，有一直线经过点，且把矩形分成两部分。
⑴若直线又经过轴上一点，且把矩形分成的两部分面积相等，求和的值；
⑵若直线又经过线段上一点，且把矩形分成的两部分的面积比为，求点坐标。

23、 如图所示，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象
（1）用m,n表示A，B，P的坐标
（2）若点D是PA及y轴的交点，且四边形PDOB的面积是，AB＝2，试求P点坐标并写出直线PA·PB的解析式

24、已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，A、B两点的坐标分别为A（12，0）、B（0，9）若点N在直线AB上，且S：S＝1：3,求直线ON的解析式。

25.已知反比例函数y=和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标。
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

26．如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
　　（1）求点P的坐标；
　　（2）设点R及点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT及△AOC相似时，求点R的坐标.

27．已知在坐标平面内原点为O,锐角⊿OAB的顶点A在x轴的正半轴上，在第一象限sin∠AOB=,tg∠BAO=3,OB=10
(1)若反比例函数的图象经过点B，求反比例函数的解析式
（2）试判断⊿AOB的形状

28、某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.
（1）求y及x的函数关系式；
（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？

三角形相似
1．相似三角形的定义：
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定方法：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=__________，CD2=___________，BC2=______；

（3）两个角对应相等的两个三角形__________；
（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；
（5）三边对应成比例的两个三角形___________．
3．如图所示的这种图形是常见图形：
满足（1）AC2=AD·AB，（2）∠ACD=∠B，（3）∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

1．相似三角形的对应边_________，对应角________．
2．相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3．相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比．
4．相似三角形的面积比等于_________的平方．
5.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
6.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

7.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 ,则BM=______.
8.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.
9.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.
10.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.
11.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

12.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.
13.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
14.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA及CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.
15.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.

16.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.
17.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
18.如图12,ΔABC中,中线BD及CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.
19.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.

20.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.

21.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。 求证：ΔEAC∽ΔCBF
 22．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

23．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP

24已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE及AB相交于点E，EC及AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．

解直角三角形
1．sinα，cosα，tanα，cotα的定义： sinα=<1，cosα=_______<1 tanα=_______>0，cotα=________>0 （a2+b2=c2常用）
2．sinα，cosα，tanα，cotα之间的关系：
（1）sin2α+cos2α=1，tanα·cotα=1
tanα=（角度必须相同）
（2）sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα
tan（90°-aα）=cotα，cot（90°-α）=tanα
3．特殊角三角函数值：

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

cotα

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型：
（1）已知一边，一锐角， （2）已知两边．
3．解直角三角形的公式：
（1）三边关系：a2+b2=c2， （2）角关系：∠A+∠B=_____，
（3）边角关系：sinA=，sinB=，cosA=，
cosB=，tanA=，cosA=，tanB=，cotB=．
4．仰角、俯角
α角叫仰角，β角叫做俯角．
5．坡度： AB的坡度iAB=， ∠α叫坡角，tanα=i=．
1．Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝4，AB＝5，则tanB＝
2、河堤横断面如图，堤高BC=5m，迎水斜坡AB的坡比为1：2，那么斜坡AB的长为 m.
3．Rt⊿ABC中，， AB = 6，，则BC = __________
4。已知：如图在△ABC中，∠A=30，tanB=，BC=，则AB的长为_________。

5．如图，在△ABC中，∠ACB=900，BC=4，AC=5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是________,tan∠BCD的值是____________.
D
A
B
C

6． 在数学活动课上，老师带领学生去测量河两岸A、B两处之间的距离，先从A处出发及AB方向，向前走了10米到处，在C处测得∠ACB=600，（如图所示），那么A，B之间的距离约为 米（计算结果到米）.
7．测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30°．在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为_______m（取）．
M
P
1000

500
250
750

8 立达中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部12m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45°，若他的双眼离地面1.3m，则旗杆高度为 m.
9、 在Rt△ABC中，∠C=90°AB=13㎝，BC=5㎝，则sinB的值是( )
Ａ． B. C. D.
10、如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于　（　　　）
A、 B、 C、 D、1
11. 在△ABC中，∠C＝90O，如果cosA＝，那么sinB的值是
A. B. C. D.
12. 已知为锐角，且，则的度数是
A．30° B．45° C．60° D．90°
13.如图，中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. tanA=
14．在Rt△ABC中，∠C是直角，各边的长度都分别扩大2倍，那么∠A的三角函数值（ ）
A没有变化 B分别扩大2倍
C分别扩大倍 D不能确定

15．已知， AB为一建筑物，从地面C点用测角仪测得A的仰角为α，仪器高DC＝b，若BC＝a，则建筑物AB的高度可表示为（ ）
A.AB=b+sinα B.AB=b+ C.AB=b+a﹒tanα D.AB=b+
16. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tanα的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
17、 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，tanB=，上底AD=10，梯形的高是6，
求(1)∠B的度数；(2)下底BC的值。(结果保留根号)

A
L
O
F
B
18.如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=600，∠BPO=300，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。

19．如图所示，某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线及水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而在春分日正午光线及地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E及墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）

20、如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到点B，测得该岛在北偏东30°，已知在该岛周围6海里有暗礁，问若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．

21、如图，在直角△OAB中，以O为原点，建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别是A（8，0）、B（0，6）、C（3，0），动点P从点O出发，沿O→B→A的路线移动，到A点停止，从点O移动到点B的速度是每秒1个单位，从点B移动到点A的速度是每秒2个单位，移动时间记为t秒。
（1）动点P在从O到B的移动过程中，设△ABC的面积为S1，试写出S1及t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；动点P在从B到A的移动过程中，设△APC的面积为S2，试写出S2及t的 数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（2）动点P在从点O到点B的移动过程中，当t为何值时，△APC为等腰三角形？
（3）动点P从O点出发后，在从点B到点A的移动过程中，当t为何值时，以点P、A、C为顶点的三角形及△ABC相似？

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