数学八年级下册第十八章平行四边形期中复习题.docx

数学八年级下册第十八章?平行四边形?复习题

一．选择题〔共4小题〕
1．〔2021•本溪〕如图，正方形ABCD边长是4，∠DAC平分线交DC于点E，假设点P、Q分别是AD和AE上动点，那么DQ+PQ最小值〔　　〕

A．
2
B．
4
C．
2
D．
4

2．〔2021•贵港一模〕如图，在正方形ABCD对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．假设AB=1，那么以下结论：①AE=CE；②F到BC距离为；
③BE+EC=EF；④；⑤．
其中正确个数是〔　　〕

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

3．〔2021•雨花区模拟〕在正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥PD延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．以下结论：①△ABE≌△ADF； ②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF
其中正确是〔　　〕

A．
①②④
B．
①③④
C．
①②③
D．
①②③④

4．如图，正方形ABCD面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE和最小，那么这个最小值为〔　　〕

A．
4
B．
2
C．
2
D．
2

二．填空题〔共16小题〕
5．〔2021•鞍山〕如图，E为边长为1正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，那么PQ+PR值为　_________　．

6．〔2005•宿迁〕如图，有一块边长为4正方形塑料模板ABCD，将一块足够大直角三角板直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．那么四边形AECF面积是　_________　．

7．如下图，以Rt△ABC斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF，设正方形中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=　_________　．

三．解答题〔共10小题〕
8．〔2021•宁德〕如图〔1〕，正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
〔1〕连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
〔2〕连接FC，观察并猜测∠FCN度数，并说明理由；
〔3〕如图〔2〕，将图〔1〕中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b〔a、b为常数〕，E是线段BC上一动点〔不含端点B、C〕，以AE为边在直线MN上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN大小是否总保持不变？假设∠FCN大小不变，请用含a、b代数式表示tan∠FCN值；假设∠FCN大小发生改变，请举例说明．

9．〔2021•大田县〕正方形ABCD中，点O是对角线AC中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．
〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间一个等量关系，并证明你结论；
〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断〔1〕中结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应结论．〔所写结论均不必证明〕

10〔2021•通州区二模〕如图，将一三角板放在边长为1正方形ABCD上，并使它直角顶点P在对角线AC上滑动，直角一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．
探究：设A、P两点间距离为x．
〔1〕当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样数量关系？试证明你猜测；
〔2〕当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ面积为y，求y与x之间函数关系，并写出函数自变量x取值范围；
〔3〕当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形点Q位置．并求出相应x值，如果不可能，试说明理由．

第十八章?平行四边形?复习题
参考答案与试题解析

一．选择题〔共4小题〕
1．〔2021•本溪〕如图，正方形ABCD边长是4，∠DAC平分线交DC于点E，假设点P、Q分别是AD和AE上动点，那么DQ+PQ最小值〔　　〕

A．
2
B．
4
C．
2
D．
4

考点：
轴对称-最短路线问题；正方形性质．
专题：
压轴题；探究型．
分析：
过D作AE垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线性质可得出D′是D关于AE对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ最小值．
解答：
解：作D关于AE对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，即DQ+PQ最小值为2．
应选C．

点评：
此题考察是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题关键．

2．〔2021•贵港一模〕如图，在正方形ABCD对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．假设AB=1，那么以下结论：①AE=CE；②F到BC距离为；
③BE+EC=EF；④；⑤．
其中正确个数是〔　　〕

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

考点：
正方形性质；三角形面积；全等三角形判定与性质；含30度角直角三角形；勾股定理．
专题：
证明题；压轴题．
分析：
根据正方形性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形面积公式即可求出高AM，根据三角形面积公式求出即可．
解答：
解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正确；
∵过F作FH⊥BC于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=BF=，∴②错误；
∵Rt△BHF中，
FH=，BF=1，
∴CF==2+
∵BD是正方形ABCD对角线，
∴AE=CE，

在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可证△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正确；
过A作AM⊥BD交于M，
根据勾股定理求出BD=，
由面积公式得：AD×AB=BD×AM，
AM==，
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴DM=，EM=，
∴S△AED=DE×AM=+，∴④错误；
S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣×1×[1﹣]=，∴⑤正确．
应选B．

点评：
此题主要考察对正方形性质，全等三角形性质和判定，三角形面积，勾股定理，含30度角直角三角形性质等知识点理解和掌握，综合运用这些性质进展证明是解此题关键．

3．〔2021•雨花区模拟〕在正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥PD延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．以下结论：①△ABE≌△ADF； ②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF
其中正确是〔　　〕

A．
①②④
B．
①③④
C．
①②③
D．
①②③④

考点：
正方形性质；三角形内角和定理；全等三角形判定与性质；直角三角形斜边上中线；等腰直角三角形．
专题：
压轴题．
分析：
根据和正方形性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠AMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
解答：
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=∠90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
应选D．

点评：
此题主要考察对正方形性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理等知识点理解和掌握，综合运用这些性质进展推理是解此题关键．

4．如图，正方形ABCD面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE和最小，那么这个最小值为〔　　〕

A．
4
B．
2
C．
2
D．
2

考点：
轴对称-最短路线问题；等边三角形性质；正方形性质．
专题：
计算题．
分析：
根据正方形性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．，
解答：
解：
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD对称点是A，
连接AE交BD于P，
那么此时EP+CP值最小，
∵C、A关于BD对称，
∴CP=AP，
∴EP+CP=AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
应选A．
点评：
此题考察了正方形性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形性质等知识点应用，解此题关键是确定P位置和求出EP+CP最小值是AE，题目比拟典型，但有一定难度，主要培养学生分析问题和解决问题能力．

二．填空题〔共16小题〕
5．〔2021•鞍山〕如图，E为边长为1正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，那么PQ+PR值为　　．

考点：
正方形性质；三角形面积；等腰三角形性质．
专题：
几何综合题．
分析：
过E作EF⊥BC于F，由S△BPC+S△BPE=S△BEC推出PQ+PR=EF，在Rt△BEF中求EF．
解答：
解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，
∵S△BPC+S△BPE=S△BEC
∴=BC•EF，
∵BE=BC=1，
∴PQ+PR=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵在Rt△BEF中，∠EBF=45°，BE=1，
sin45°=，
∴=，
∴EF=，即PQ+PR=．
∴PQ+PR值为．
故答案为：．

点评：
解答此题难点是证明底边上任意一点到等腰三角形两腰距离等于一腰上高．在突破难点时，充分利用正方形性质和三角形面积公式．

6．〔2005•宿迁〕如图，有一块边长为4正方形塑料模板ABCD，将一块足够大直角三角板直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．那么四边形AECF面积是　16　．

考点：
正方形性质；全等三角形判定与性质．
分析：
由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF面积，即可四边形AECF面积=正方形面积，从而求出其面积．
解答：
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF面积，
可得到四边形AECF面积=正方形面积=16．
故答案为：16．
点评：
此题需注意：在旋转过程中一定会出现全等三角形，应根据所给条件找到．

7．如下图，以Rt△ABC斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF，设正方形中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC=　16　．

考点：
正方形性质；全等三角形判定与性质；直角三角形性质；勾股定理．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=6，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
解答：

解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
∵在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO，
∴OA=OG=6，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG==12，
即AC=12+4=16，
故答案为：16．
点评：
此题主要考察对勾股定理，正方形性质，直角三角形性质，全等三角形性质和判定等知识点理解和掌握，能熟练地运用这些性质进展推理和计算是解此题关键．

三．解答题．8〔2021•宁德〕如图〔1〕，正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
〔1〕连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
〔2〕连接FC，观察并猜测∠FCN度数，并说明理由；
〔3〕如图〔2〕，将图〔1〕中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b〔a、b为常数〕，E是线段BC上一动点〔不含端点B、C〕，以AE为边在直线MN上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN大小是否总保持不变？假设∠FCN大小不变，请用含a、b代数式表示tan∠FCN值；假设∠FCN大小发生改变，请举例说明．

考点：
正方形性质；全等三角形判定与性质；矩形性质．
专题：
压轴题；动点型．
分析：
〔1〕根据三角形判定方法进展证明即可．
〔2〕作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH度数就可以求得了．
〔3〕此题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH正切值就是FH：CH．
解答：
〔1〕证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．

〔2〕解：∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCN=45°．

〔3〕解：当点E由B向C运动时，∠FCN大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H，
由可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合〔1〕〔2〕得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN===，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN大小总保持不变，tan∠FCN=．

点评：
此题考察了正方形，矩形判定及全等三角形判定方法等知识点综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段相等或成比例．

9．〔2021•大田县〕正方形ABCD中，点O是对角线AC中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．
〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间一个等量关系，并证明你结论；
〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断〔1〕中结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应结论．〔所写结论均不必证明〕

考点：
正方形性质；线段垂直平分线性质．
专题：
压轴题；动点型．
分析：
〔1〕由正方形性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故有PA=PG，PC=CF，易得PA=EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；
〔2〕同〔1〕证得DF=EF，三条线段数量关系是PA﹣PC=CE．
解答：
解：〔1〕如图2，延长FP交AB于点Q，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=PG，PC=CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=EF，
∴PC=CF=〔CE+EF〕=CE+EF=CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；

〔2〕结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段数量关系是PA﹣PC=CE．
如图3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC〔〕，∠PCB=∠PCD=45°〔已证〕，PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC〔SAS〕，
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=PG=DF=EF，PC=CF，
∴PA=EF=〔CE+CF〕=CE+CF=CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC=CE．

，

10，〔2021•通州区二模〕如图，将一三角板放在边长为1正方形ABCD上，并使它直角顶点P在对角线AC上滑动，直角一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．
探究：设A、P两点间距离为x．
〔1〕当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样数量关系？试证明你猜测；
〔2〕当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ面积为y，求y与x之间函数关系，并写出函数自变量x取值范围；
〔3〕当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形点Q位置．并求出相应x值，如果不可能，试说明理由．

考点：
正方形性质；全等三角形判定与性质；等腰三角形性质．
专题：
代数几何综合题；压轴题．
分析：
〔1〕PQ=PB，过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，可以证明Rt△MBP≌Rt△NPQ；
〔2〕S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ分别表示出△PBC于△PCQ面积就可以．
〔3〕△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，
②当点Q在DC延长线上，且CP=CQ时，就可以用x表示出面积．
解答：
解：〔1〕PQ=PB，〔1分〕
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，
在正方形ABCD中，AC为对角线，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，〔2分〕
∴PB=PQ．

〔2〕∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=x，
∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣x，
又∵S△PBC=BC•BM=•1•〔1﹣x〕=﹣x，
S△PCQ=CQ•PN=〔1﹣x〕•〔1﹣x〕，
=﹣+，
∴S四边形PBCQ=﹣x+1．〔0≤x≤〕．〔4分〕

〔3〕△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
PQ=QC，此时，x=0．〔5分〕
②当点Q在DC延长线上，且CP=CQ时，〔6分〕
有：QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣CN=x﹣〔1﹣x〕=x﹣1，
∴当﹣x=x﹣1时，x=1．〔7分〕．