高中数学-回归直线方程的推导教案-新人教A版选修.docx

回归直线方程的推导
设x及y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是：，下面给出回归方程的推导。
设所求的回归方程为，其中是待确定的参数，那么：
样本中各个点的偏差是 ，（）
显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，，因此他们的和不能代表n个点及回归直线在整体上的接近程度，而是采用n个偏差的平方和来表示n个点及相应直线（回归直线）在整体上的接近程度。
即
求出当取最小值时的的值，就求出了回归方程。
（一） 先证明两个在变形中用到的公式：
公式（1） 其中
因为
＝＝　所以
公式（２）
　　因为
＝＝　　所以
　　（二）推导：将的表达式的各项先展开，再合并、变形
　 -----展开
-----以a，b为同类项，合并
--以a，b的次数为标准整理
--将数据转化为平均数
---配方法
---展开
---整理
-----用公式（一）、（二）变形
---配方
在上式中，共有四项，后两项及a，b无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得区的最小值，当且仅当前两项的值都为0。所以
或 ------用公式（一）、（二）变形得
（三）总结规律：
上述推倒过程是围绕着待定参数a，b进行的，只含有的部分是常数或系数，用到的方法有（1）配方法，有两次配方，分别是a的二次三项式和b的二次三项式；（2）变形时，用到公式（一）、（二）和整体思想；（3）用平方的非负性求最小值。(4)实际计算时，通常是分步计算：先求出，再分别计算， 或，的值，最后就可以计算出a，b的值。
小练习：
(1)验证当样本数据只有两个点时的回归方程；
(2)当样本数据有三个点，是（），（），（）时，试推导回归方程。
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