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数学2-2导数大题中等难度

数学2-2导数大题中等难度

一．解答题（共30小题）
1．（2016•桂林一模）设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

2．（2016•黄山一模）已知函数f（x）=aln（x﹣a）﹣x2+x（a＜0）．
（1）当a=﹣2时，求f（x）在[﹣，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

3．（2016•蚌埠一模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=﹣1，函数f（x）的图象及函数g（x）=x3+x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

4．（2016•河西区模拟）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

5．（2016春•汉中校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+bx（a＞0）且导数f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜2﹣ax2对一切正数x都成立，求a的取值范围．

6．（2015•宜宾县模拟）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．

7．（2015•东营二模）已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．

8．（2015•南宁二模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N*）．

9．（2015•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．

10．（2015•潮南区模拟）设函数f（x）=﹣ax．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．

11．（2015春•海淀区期末）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．

12．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣x+1，g（x）=x2﹣2lnx﹣1，
（Ⅰ）h（x）=4f（x）﹣g（x），试求 h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，恒有af（x）≤g（x），求a的取值范围．

13．（2015•益阳校级模拟）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2
（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．

14．（2015•漳浦县校级模拟）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值为，求a的值．

15．（2015•文昌校级模拟）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

16．（2015•宿州三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

17．（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

18．（2014•河西区一模）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．

19．（2015•陕西模拟）已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．

20．（2014•凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N+）．

21．（2015•金凤区校级一模）已知函数f（x）=xlnx．
（l）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．

22．（2016•广西一模）已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

23．（2014•宝鸡三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

24．（2015•贵阳一模）已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小值
（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．

25．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

26．（2015•荆门模拟）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的，都有sf（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

27．（2014•南昌模拟）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）
（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x2﹣2bx+4﹣ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

28．（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣及x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

29．（2015•德阳模拟）已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．

30．（2013•东莞一模）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

数学2-2导数大题中等难度
参考答案及试题解析

一．解答题（共30小题）
1．（2016•桂林一模）设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ利用x=1为f（x）的极大值点，得到f'（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围．
【解答】解：，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f'（1）=0，
∴且c≠1，b+c+1=0．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当1＜x＜c时，f'（x）＜0；
当x＞c时，f'（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即，∴c＜0；
②若0＜c＜1，则f（x）的极大值为f（c）=clnc+c2+bc，
f，
∵b=﹣1﹣c，
则=clnc﹣c﹣，
f，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则=clnc﹣c﹣，
，则f（x）=0只有一解．
综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为：c＜0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查学生的计算能力，以及分类讨论思想．

2．（2016•黄山一模）已知函数f（x）=aln（x﹣a）﹣x2+x（a＜0）．
（1）当a=﹣2时，求f（x）在[﹣，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．
【专题】数形结合法；导数的综合应用．
【分析】（1）把a=1代入f（x），然后对 f（x） 进行求导，令 f′（x）=0，可得极值点，再及端点值进行比较，就可得出f（x）的最小值．
（2）对函数求导，令导函数为零，由只有一个可以确定两个极值为同号．
【解答】解：（1）∵a=﹣2
∴f（x）=﹣2ln（x+2）﹣x2+x
∴=
令f′（x）=0，x=0，x2=﹣1
f（x）有两个极值f（0）=﹣2ln2，f（﹣1）=
f（x）两个端点处的值为f（2）=﹣2ln4=﹣4ln2，f（﹣）=2ln2﹣
∴f（x）的最小值为﹣4ln2
（2）f′（x）=
=
=
令f′（x）=0．则x1=0，x2=a+1
∵f（x）有且仅有一个零点
则f（x）的两个极值均为正或负
f（x）=aln（﹣a）
f（a+1）=﹣a2
∴f（0）﹣f（a+1）＞0
即aln（﹣a）（）＞0
即ln（﹣a）（a﹣1）（a+1）＞0
∴ 或
由此得a＜﹣1或﹣1＜a＜0
∴a的范围是a＜﹣1或﹣1＜a＜0
【点评】本题主要考察了对导数的求解和对只有一个零点的理解，属于经常接触的题目，可以记住此类型的对应结论．

3．（2016•蚌埠一模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=﹣1，函数f（x）的图象及函数g（x）=x3+x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex，
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x﹣1）ex=（x2+3x）ex．
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），
即4ex﹣y﹣3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2+m）
则h′（x）=（﹣2x+1）ex+（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x2+x）
=﹣（ex+1）（x2+x）
令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．
∴h（x）在x=﹣1处取得极小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0处取得极大值h（0）=﹣1﹣m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴即，
解得：﹣﹣＜m＜﹣1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．

4．（2016•河西区模拟）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】转化思想；构造法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（Ⅱ）求出当a=3时f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）设点A（t，﹣t3+t2﹣2t）是函数f（x）图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（0，﹣），可得方程有三个不同的实数解，设g（t）=t3﹣at2+，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x3+x2﹣2x的导数为f′（x）=﹣x2+ax﹣2，
因为函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，
所以﹣4+2a﹣2=﹣4，解得a=1；
（Ⅱ）当a=3时，f′（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣1）（x﹣2），
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），
单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）；
（Ⅲ）设点A（t，﹣t3+t2﹣2t）是函数f（x）图象上的切点，
则过点A的切线斜率k=﹣t2+at﹣2，
所以过点A的切线方程为y+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（x﹣t），
因为点（0，﹣）在该切线上，
所以﹣+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（0﹣t），
即t3﹣at2+=0，
若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程t3﹣at2+=0三个不同的实数根，
令g（t）=t3﹣at2+=0，
则函数y=g（t）的图象及x轴有三个不同的交点，
g′（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或t=，
因为g（0）=，g（）=﹣a3+，
所以令g（）=﹣a3+＜0，即a＞2，
所以实数a的取值范围是（2，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．

5．（2016春•汉中校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+bx（a＞0）且导数f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜2﹣ax2对一切正数x都成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），先求导，再求f′（1）=1﹣a+b=0，由此得到b=a﹣1．再根据导数和函数的单调性之间的关系，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）f（x）＜2﹣ax2对一切正数x都成立，分离变量a后得到a＜+1，利用导数求函数的最小值，则a的取值范围可求．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=﹣ax+b，f′（1）=1﹣a+b=0，
得：b=a﹣1．
将b=a﹣1代入得f′（x）=﹣ax+a﹣1=﹣．
当f′（x）＞0时，﹣＞0．
由x＞0，得（ax+1）（x﹣1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增，
当f′（x）＜0时，﹣＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x﹣1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）∵f（x）＜2﹣ax2对一切正数x都成立，
∴lnx﹣ax2+（a﹣1）x＜2﹣ax2对一切正数x都成立，
∴ax＜2+x﹣lnx对一切正数x都成立，
即a＜+1对一切正数x都成立，
设g（x）=，
∴g′（x）=，
令g′（x）=0，解得x=e3，
当g′（x）＞0时，即x＞e3，函数g（x）递增，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜e3，函数g（x）递减，
故当x=e3，函数有极小值，即为最小值，g（e3）==﹣e﹣3，
∴a＜1﹣e﹣3，
故a的取值范围为（﹣∞，1﹣e﹣3）
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性比较不等式的大小是有一定难度题目

6．（2015•宜宾县模拟）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】压轴题．
【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），
对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．
（3）是近年来高考考查的热点问题，即及函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
【解答】解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．

7．（2015•东营二模）已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，从而令，即可证得结论．
【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）
（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
取，则，…（5分）
再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，
故，故kmax=3…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴
令，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（14分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，属于中档题．

8．（2015•南宁二模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N*）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【专题】综合题；压轴题；导数的概念及应用．
【分析】（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；
（2）求导函数，求得函数的单调性及最值，从而可得p的最小值；
（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：，从而可得
．利用叠加法可得结论．
【解答】（1）解：依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]
∵，而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）
∴f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在[0，e﹣1]上为增函数，∴
∴实数m的取值范围为m≤e2﹣2
（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴
显然，函数g（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴函数g（x）的最小值为g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0
（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立
令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：
即，即
所以ln2﹣ln1＜1，，，…，
将以上n个等式相加即可得到：
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性及最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．

9．（2015•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．
（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，则x1•f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）
（Ⅱ），，
可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，
当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，
而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，
依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，
即 恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx； …（8分）
令，
则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，
当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，
即h（x）在区间上单调递增；
当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；
所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，
故 a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）
【点评】本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．

10．（2015•潮南区模拟）设函数f（x）=﹣ax．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；
（2）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，
﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，
令g（x）=（﹣）2﹣，
故当=，即x=e2时，
g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥
∴a的最小值为．
（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，
等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，
f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，
f′（x）max+a=，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，
①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，
则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，
∴﹣a≤﹣，
∴a≥﹣．
②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，
∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，
∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：
f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，
要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，
及﹣＜﹣a＜0矛盾，
∴﹣＜﹣a＜0不合题意．
综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．
【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．

11．（2015春•海淀区期末）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论①当a＜0时，②当a＞0时的情况，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ），
当a＜0时，对∀x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以 f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，
因为 x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，
所以 f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，
当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，
所以 f（x）max=f（1）=1；
因为 对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，
所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；
当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，
所以 f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；
因为 对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna﹣1）+3＜3，
所以 对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；
当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），
由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，
所以 f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；
因为 对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），
所以 即，
所以 f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，
综上所述，实数a的值为e+1．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．

12．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣x+1，g（x）=x2﹣2lnx﹣1，
（Ⅰ）h（x）=4f（x）﹣g（x），试求 h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，恒有af（x）≤g（x），求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）利用导数的正负性，求函数的单调区间；
（Ⅱ）令构造函数φ（x）=af（x）﹣g（x），利用导数求出函数的最值，解决恒成立问题，这里要用到二次求导．
【解答】（Ⅰ）解：h（x）=4f（x）﹣g（x）=4xlnx+2lnx﹣x2﹣4x+5，
h（x）的定义域为（0，+∞），则，
记h″（x）为h′（x）的导函数，则，
故h′（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，且有h'（1）=0，
则令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，
故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）令φ（x）=af（x）﹣g（x），则有x≥1时φ（x）≤0．
φ（x）=axlnx+2lnx﹣ax﹣x2+a+1，，
记φ''（x）为φ'（x）的导函数，则，
因为当x≥1时，，故．
①若a﹣4≤0，即a≤4，此时φ''（x）≤0，故φ'（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4时，原不等式恒成立；
②若a﹣4＞0，即a＞4，令可得，
故φ'（x）在区间上单调递增，故当时，φ'（x）＞φ'（1）=0，
故φ（x）在区间上单调递增，故当时，φ（x）＞φ（1）=0，
故a＞4时，原不等式不恒成立．
综上可知a≤4，即a的取值范围为（﹣∞，4]．
【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间，由恒成立问题求式中参数的范围，运用二次求导数，分类讨论，函数及方程，化归等思想．属于难题．

13．（2015•益阳校级模拟）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2
（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
（2）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．
【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）
由f'（x）=0得x=﹣a或，
（1）当a＞0时，
由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜．
由f'（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，
此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．
（2）当a＜0时，
由f'（x）＜0，得，
由f'（x）＞0，得x或x＞﹣a，
此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），
综上：当a＞0时，f单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞），
当a＜0时，（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），
（2）依题意x∈（0，+∞）