高三数学专题复习集合与逻辑.docx

高三数学专题复习01 集合与逻辑
一、填空题
1．集合，，那么=　　　　．
【答案】

2．A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，那么实数组成集合为 ．
【解析】∵A∪B=A∴BA
又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}

3．设全集,集合，,那么=____________.
【解析】根据题意，对集合变形可得，分析可得集合表示直线上除点之外所有点，进而可得代表直线外所有点和点；同理可得集合代表直线外所有点,以及代表直线上所有点，由交集概念可得．

4．集合A1，A2满足A1∪A2=A，那么称〔A1，A2〕为集合A一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，〔A1，A2〕与〔A2，A1〕为集合A同一种分拆，那么集合A={a，b，c}不同分拆种数为_________.
【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；
当A1为单元素集时，A2=∁AA1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；
当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；
当A1为A时，A2可取A任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；
综上，共27种拆法．

5．命题“假设a2+b2=0，那么a=0且b=0”逆否命题是________．
命题p:“，使〞否认¬p是________．
【答案】假设或,那么；,使

6．以下命题：
①命题“∃x∈R，x2＋1＞3x〞否认是“∀x∈R，x2＋1＜3x〞；
②p，q为两个命题，假设“p∨q〞为假命题，那么“(p)∧(q)为真命题〞；
③“a＞2〞是“a＞5〞充分不必要条件；
④“假设xy＝0，那么x＝0且y＝0”逆否命题为真命题．
其中所有真命题序号是________．
【解析】命题“∃x∈R，x2＋1＞3x〞否认是“∀x∈R，x2＋1≤3x〞，故①错误；“p∨q〞为假命题说明p假q假，那么(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/ a＞5，故“a＞2〞是“a＞5〞必要不充分条件，故③错误；因为“假设xy＝0，那么x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．答案②

7．设集合，那么点充要条件是_________.
【解析】，∴把点P坐标代入相应不等式得：m<-1,n<5.

8．设集合数列单调递增，集合函数在区间上单调递增，假设“〞是“〞充分不必要条件，那么实数最小值为 ．
【解析】由数列单调递增得：对恒成立，即对恒成立，所以由函数在区间上单调递增得：或.因为“〞是“〞充分不必要条件，所以即

9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有以下命题：①在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB充分不必要条件；②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB充要条件；③在△ABC中，A＞B是tanA＞tanB必要不充分条件．其中正确命题序号为________．
【答案】②
【解析】 由正弦定理，可知A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故A＞B是sinA＞sinB充要条件，所以①错；由于函数y＝cosx在(0，π)内为减函数，故在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB充要条件，所以②对；当A＝，B＝时，tanA＞tanB，而此时A＜B，当A＝，B＝时，A＞B，但tanA＜tanB，故在△ABC中，A＞B是tanA＞tanB既不充分也不必要条件，所以③错．故填②.

10．设命题p：非零向量a，b，|a|＝|b|是(a＋b)⊥(a－b)充要条件；命题q：平面上M为一动点，A，B，C三点共线充要条件是存在角α，使＝sin2α＋cos2α，以下命题①p∧q；②p∨q；③¬p∧q；④¬p∨q.其中假命题序号是________．(将所有假命题序号都填上)
【答案】①③④
【解析】(a＋b)⊥(a－b)⇔(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0⇔|a|＝|b|，故p是真命题．
假设A，B，C三点共线，那么存在x，y∈R，
使＝x ＋y (x＋y＝1)；
假设＝sin2α＋cos2α，那么A，B，C三点共线．
故q是假命题．
故p∧q，¬p∧q，¬p∨q为假命题．

11．记实数…中最大数为{…}，最小数为min{…}.三边边长为、、〔〕,定义它倾斜度为那么“t=1〞是“为等边三角形〞 。
〔填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件〕
【解析】假设为等边三角形时，即，那么，那么；假设为等腰三角形，如时，那么，此时仍成立但不为等边三角形，所以“〞是“为等边三角形〞必要而不充分条件．

12．设命题;命题，假设是充分不必要条件.那么取值范围是 .
【答案】
【解析】命题表示范围是图中内部〔含边界〕，命题表示范围是以点为圆心，为半径圆及圆内局部，是充分不必要条件，说明在圆内，实际上只须三点都在圆内〔或圆上〕即可.

13．对于非空实数集，定义．设非空实数集．现给出以下命题：
〔1〕对于任意给定符合题设条件集合必有
〔2〕对于任意给定符合题设条件集合必有；
〔3〕对于任意给定符合题设条件集合必有；
〔4〕对于任意给定符合题设条件集合必存在常数，使得对任意，恒有．以上命题正确是
【答案】〔1〕〔4〕
【解析】〔1〕对任意，根据题意，对任意，有，因为，所以对任意，一定有，所以，即，〔1〕正确；〔2〕如，那么，但，〔2〕错误；〔3〕如如，那么，但，〔3〕错误；〔4〕首先对任意集合由定义知一定有最小值，又由〔1〕，设最小值分别为，即，，只要取，那么对任意，，即，〔4〕正确，故〔1〕〔4〕正确．

14．给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且，定义集合.假设对任意点，存在点使得为坐标原点),那么称数列具有性质.
(1)给出以下四个命题，其中正确序号是 .
①数列-2,2具有性质;
②数列:-2,-1,1,3具有性质;
③假设数列具有性质，那么中一定存在两项，使得;
④假设数列具有性质,且,那么.
(2)假设数列只有2021项且具有性质,那么所有项和 .
【答案】(1) ①③④；(2)
【解析】 (1).对于数列，假设，那么；假设，那么；均满足，所以具有性质P,故①正确；
对于数列，当时，假设存在满足，即，数列}中不存在这样数x，y，因此不具有性质P，故②不正确；
取，又数列具有性质P，所以存在点使得，即，又 ，所以，故③正确；
数列中一定存在两项使得；又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，，所以，故④正确；
(2) 由〔1〕知，．假设数列只有2021项且具有性质P，可得，猜测数列从第二项起是公比为2等比数列那么.

二、解答题
15．a∈R，b∈R，A={2，4，x2﹣5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+〔a+1〕x﹣3，1}：求
〔1〕A={2，3，4}x值；
〔2〕使2∈B，B⊊A，求a，x值；
〔3〕使B=Ca，x值．
【解析】〔1〕依题意，x2﹣5x+9=3，∴x=2或x=3；
〔2〕∵2∈B，B⊊A，
∴x2+ax+a=2且x2﹣5x+9=3，
当x=2时，a=﹣；当x=3时，a=﹣；
〔3〕∵B={3，x2+ax+a}=C={x2+〔a+1〕x﹣3，1}，
∴整理得：x=5+a，
将x=5+a代入x2+ax+a=1得：a2+8a+12=0，
解得a=﹣2或a=﹣6．
当a=﹣2时，x=3或﹣1；
当a=﹣6时，x=﹣1或x=7〔当a=﹣6，x=7时代入x2+〔a+1〕x﹣3=3 不成立所以舍去〕．
综上所述{x|x=﹣1或3} {a|a=﹣6或﹣2}．

16．函数定义域为集合，定义域为集合，集合
〔1〕假设，求实数取值范围．
〔2〕如果假设那么为真命题，求实数取值范围．
【答案】〔1〕；〔2〕或．
【解析】集合，．
〔1〕因为，所以，所以
〔2〕．假设那么为真命题，所以，所以或，所以取值范围是或

17．命题：“，使等式成立〞是真命题．
〔1〕求实数取值集合；
〔2〕设不等式解集为，假设是必要条件，求取值范围．
【解析】(1) 由题意知，方程在上有解，
即取值范围就为函数在上值域，易得
(2) 因为是必要条件，所以
当时，解集为空集，不满足题意
当时，，此时集合
那么，解得
当时，，此时集合
那么
综上

18．设命题函数定义域为R，命题不等式对一切正实数x均成立，如果命题为真，为假，求实数a取值范围.
【答案】
【解析】因为命题为真，为假，所以命题与命题一真一假. 为真恒成立，，为真对一切均成立，又从而，因此或，即.
为真恒成立，
当时不合，
为真对一切均成立，
又 从而
又.

19．集合,函数定义域为集合.
(1)假设，求集合;
(2)且“〞是“〞必要不充分条件，求实数a取值范围.
【解析】(1)假设，那么集合，
集合
所以，从而有；
(2)因为，所以，
从而集合，
集合，又因为“〞是“〞必要不充分条件，所以，从而有，
得实数a取值范围为.

20．命题“存在〞，命题：“曲线表示焦点在轴上椭圆〞，命题“曲线表示双曲线〞
〔1〕假设“且〞是真命题，求取值范围；
〔2〕假设是必要不充分条件，求取值范围。
【答案】〔1〕或；〔2〕或
【解析】解：〔1〕假设为真：
解得或
假设为真：那么
解得或
假设“且〞是真命题，那么
解得或
〔2〕假设为真，那么，即
由是必要不充分条件，
那么可得或
即或
解得或