样本高一升高二数学教案椭圆方程.doc

样本高一升高二数学教案椭圆方程
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小班化辅导教案

任教科目： 数学

年 级：高一升高二

任课教师：****

科目组长签字：
教研组主任签名：
日 期：

扬帆教育学科辅导讲义
授课教师
*****
授课课时
4课时
授课题目
椭圆专题讲解
参考教材及例题来源

教学目标

1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．
2．掌握常见的几种数学思想方法——函数及方程、数形结合、转化及化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．
教学范围和重点
出题的范围：求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．
重点：在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程．
关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节

考点及考试要求

1、考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．
2．考查椭圆的方程及其几何性质．
3．考查直线及椭圆的位置关系．
教学流程及授课详案
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
例1、求下列椭圆的焦点和焦距
(1)； （2）
分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含项及含项的分母，
哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。
①
②

2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图　形

续表

性　　质
范　围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
椭圆的方程的求法是解析几何中的一个重要内容，求椭圆的方程的主要方法有直接法、定义法、代入法，下面分类举例说明之。
常见规律：椭圆焦点位置及x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.
(1)直接法：直接从条件中获取信息，建立方程求椭圆的方程。
(2)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．
一、 直接法
例1．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程。
解：设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
点评：本题考查了椭圆中的基本量的关系，列出方程即能获解。此类问题常常出现在高考的解答题中的第一问，考查同学们对基础知识的掌握。
二、定义法
利用椭圆的定义，到两个定点的距离之和为定值或到定点的距离及到定直线的距离之比为常数（此数大于零小于1），就可以得到所求的椭圆的方程。
例2.已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.
解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,
∴椭圆方程为,
又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,
因此点C的轨迹方程是：(─2<x<0)
点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性

三种技巧
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．
(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．
自测
1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长及短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　　)．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1 D．以上都不对
解析　∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
答案　C
2．(2012·深圳)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)．
A．4 B．5 C．8 D．10
解析　依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
答案　D

考向一　椭圆定义的应用
【例1】►(2011·广州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
[审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用⊥，进而得解．
解析　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，（引导学生如何审题）
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|
＝×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.
答案　3
椭圆上一点P及椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．（老师要注明这道例题的详细的方法总结）
【训练1】 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．
A．2 B．6
C．4 D．12
解析　由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．
答案　C

考向二　求椭圆的标准方程
【例2】►(1)求及椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)的椭圆方程．
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且及长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定．
解　(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t(t＞0)，
∵椭圆过点(2，－)，∴t＝＋＝2，
故所求椭圆标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程为＋＝1或＋＝1.
运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．（老师要注明这道例题的详细的方法总结）
【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N及F构成正三角形，求椭圆的方程．
解　(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3,0)，∴＝1，a＝3，
∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴椭圆过点A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3，
又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝|MN|＝×b＝1.∴b＝.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为＋＝1.

考向三　椭圆几何性质的应用
【例3】►(2011·湛江)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程及椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．
解　(1)由已知得，a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l及圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝＝
＝

＝.
由于当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
(2)弦长公式l＝|x1－x2|＝ .（老师要注明这道例题的详细的方法总结）
【训练3】 (2012·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________．
解析　

设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直角三角形，
∴1＋1＋＝4a，则a＝，
设|FA|＝x，
∴∴x＝，∴1＋2＝4c2，
∴c＝，e＝＝－.
答案　－

考向四　椭圆中的定值问题
【例4】►(2011·阳江)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝， 一条准线的方程为x＝2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点P满足：O＝O＋2O，其中M、N是椭圆上的点，直线OM及ON的斜率之积为－ .问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点．

解　(1)由e＝＝，＝2，
解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由O＝O＋2O得
(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，
即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)
＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，
由题设条件知kOM·kON＝＝－，
因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20.
所以P点是椭圆＋＝1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，
则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．
又因c＝＝，
因此两焦点的坐标为F1(－，0)，F2(，0)．
本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点．（老师要注明这道例题的详细的方法总结）
【训练4】 (2010·茂名)如图，

已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．
解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为
y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．
设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．
于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0，
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.

规范解答——怎样求解及弦有关的椭圆方程问题
【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上．
【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线及椭圆联立，结合根及系数的关系及弦长公式求出待定系数．
【示例】►(本题满分12分)(2011·揭阳)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2及椭圆相交于A，B两点，若直线PF2及圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根及系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解．（老师要注明这道例题的详细的方法总结）
[解答示范] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(4分)
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.(6分)
得方程组的解为
不妨设A，B(0，－c)，
所以|AB|＝＝c.(8分)
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.(10分)
因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0.
得c＝－(舍)，或c＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.(12分)
用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c)，这样可避免繁琐的运算而失分．（老师要注明这道例题的详细的方法总结）

预习题和课后作业资料的来源
预习题见附件一、课后作业见附件二
课后的感悟（本次上课的优及缺点）

教师评定：

1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：
以上教案的填写，将是奖金的重要考核项目，望各位老师认真填写，不得有半点马虎。
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