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高中数学基础知识要点解析及配套习题
高中数学基础知识要点解析
第一章 集合及简易逻辑
1．集合中元素具有确定性、无序性、互异性．
2．集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B．
如果．
[注意]：
①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集．（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集．
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）．
3．①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集．
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集．
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集．
[注]：①对方程组解的集合应是点集．例： 解的集合{(2，1)}．
②点集及数集的交集是．（例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）
4．①n个元素的子集有2n个．
②n个元素的真子集有2n －1个．
③n个元素的非空真子集有2n－2个．
5．（1）①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真．否命题逆命题．
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真．原命题逆否命题．
例：①若应是真命题．
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真．
② ．
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2．,
故是的既不是充分，又不是必要条件．
（2）小范围推出大范围；大范围推不出小范围．例：若．
6．集合的运算．

De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B）
7．容斥原理：对任意集合AB有．
．
第二章 函数
1．函数的三要素：定义域，值域，对应法则．
2．函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数．
3．反函数定义：只有满足，函数才有反函数．例：无反函数．函数的反函数记为，习惯上记为．在同一坐标系，函数及它的反函数的图象关于对称．
[注]：一般地，的反函数．是先的反函数，在左移三个单位．是先左移三个单位，在的反函数．
4．（1）单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．因此，所有偶函数不存在反函数．
（2）如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．
（3）设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y．如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同．
（4）一般地，如果函数有反函数，且，那么．这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上．
5．指数函数：（），定义域R，值域为（）．
（1）①当，指数函数：在定义域上为增函数；
②当，指数函数：在定义域上为减函数．
（2）当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反．
6．对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数．
（1）对数运算：

（以上）
注意1：当时，．
注意2：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”．例如：中x＞0而中x∈R）．
（2）（）及互为反函数．
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反．
7．奇函数，偶函数：
（1）偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点．
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数．
②满足，或，若时，．
（2）奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点．
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数．
②满足，或，若时，．
8．对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9．判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

再进行讨论．
10．外层函数的定义域是内层函数的值域．
例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A及集合B之间的关系是 ．
解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故．
11．常用变换：
①．
证：
②
证：
12．（1）熟悉常用函数图象：
例：→关于轴对称． →→

→关于轴对称．

（2）熟悉分式图象：
例：定义域，
值域→值域前的系数之比．

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；
；
通项公式

（）
中项
（）
（）
前项和

重要性质

第三章 数列
1．（1）等差、等比数列：
（2）看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数)．
（3）看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：
i．，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列．
ii．（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要．
iii．→为a、b、c等比数列的必要不充分．
iv．且→为a、b、c等比数列的充要．
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个．
③(为非零常数)．
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列．
（4）数列{}的前项和及通项的关系：
[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）．
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件．
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列．（不是非零，即不可能有等比数列）
2．①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
．
3．常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，…．
4．等比数列的前项和公式的常见应用题：
（1）生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为．其中第年产量为，且过年后总产量为：
（2）银行部门中按复利计算问题．例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元．因此，第二年年初可存款：=．
（3）分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率．
5．数列常见的几种形式：
（1）（p、q为二阶常数）用特证根方法求解．
具体步骤：
①写出特征方程（对应，x对应），并设二根
②若可设，若可设；
③由初始值确定．
（2）（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定．
①转化等差，等比：．
②选代法：
．
③用特征方程求解：
④由选代法推导结果：
6．几种常见的数列的思想方法：
（1）等差数列的前项和为，在时，有最大值．如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值．
（2）如果数列可以看作是一个等差数列及一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和．例如：
（3）两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数．
第四章 三角函数
1．①及（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角及角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角及角的终边关于x轴对称，则角及角的关系：
⑧若角及角的终边关于y轴对称，则角及角的关系：
⑨若角及角的终边在一条直线上，则角及角的关系：
⑩角及角的终边互相垂直，则角及角的关系：
2．角度及弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0．01745 1=57．30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
3．三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

4．三角函数的公式：
（一）基本关系
公式组二

公式组三 公式组四 公式组五 公式组六

（二）角及角之间的互换
公式组一 公式组二

,,,

5．正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）
定义域
R
R

R
值域

R
R

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）
上为增函数（）
上为减函数（）
上为增函数；
上为减函数（）
注意：①及的单调性正好相反；及的单调性也同样相反．一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）．
②及的周期是．
③或（）的周期．
的周期为2（，如图，翻折无效）．
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）．
⑤当·；·．
⑥及是同一函数,而是偶函数，则．
⑦函数在上为增函数．（×） [只能在某个单调区间单调递增．若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的]．
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件．（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反．例如：是奇函数，是非奇非偶．（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有．（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
．
⑩ 有．
6、反三角函数．
1．反三角函数：
（1）反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有及一一对应，故无反函数）
注：，，．
（2）反余弦函数非奇非偶，但有，．
注：①，，．
②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数．
（3）反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，，．
注：，．
（4）反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶．，．
注：①，．
②及互为奇函数，同理为奇而及非奇非偶但满足，．
2．正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
的取值范围 解集 的取值范围 解集
①的解集 ②的解集
＞1 ＞1
=1 =1
＜1 ＜1
③的解集： ③的解集：
7、三角恒等式．
组一

组二

组三 三角函数不等式
＜＜ 在上是减函数
若，则
第五章 平面向量
1．长度相等且方向相同的两个向量是相等的量．
注意：①若为单位向量，则．（） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向．
②若，则∥．（√）
2．①=
②
③
④设
（向量的模，针对向量坐标求模）
⑤平面向量的数量积：
⑥
⑦
⑧
注意：①不一定成立；．
②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小．
③长度为0的向量叫零向量，记，及任意向量平行，的方向是任意的，零向量及零向量相等，且．
④若有一个三角形ABC，则0；此结论可推广到边形．
⑤若（），则有．（） 当等于时，，而不一定相等．
⑥·=，=（针对向量非坐标求模），≤．
⑦当时，由不能推出，这是因为任一及垂直的非零向量，都有·=0．
⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立．
3．①向量及非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得（平行向量或共线向量）．
当及共线同向：当及共线反向；当则为及任何向量共线．
注意：若共线，则 （×）
若是的投影，夹角为，则， （√）
②设=，
∥
⊥
③设，则A、B、C三点共线∥=（）
（）=（）（）
（）·（）=（）·（）
④两个向量、的夹角公式：
⑤线段的定比分点公式：（和）
设 =（或=），且的坐标分别是，则
推广1：当时，得线段的中点公式：
推广2：则（对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：
注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件．
⑥平移公式：若点P按向量=平移到P‘，则
4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则．
（2）余弦定理：
（3）正切定理：
（4）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
内心：三角形三内角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线及另两条内角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]，则：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）．
（6）在△ABC中，有下列等式成立．
证明：因为所以，所以，结论！
（7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则．
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，
②代入①，化简可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，；
②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；
③若AD是BC上的高，，其中为半周长．
（8）△ABC的判定：
△ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
附：证明：，得在钝角△ABC中，
（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．

第六章 不等式
1．（1）平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
（当a = b时取等）
特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：
（2）含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①
②
（，）；

（）
（3）绝对值不等式：
（4）算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：（a1=a2…=an时取等）
（5）柯西不等式：设则

等号成立当且仅当时成立．（约定时，）
例如：．
（6）常用不等式的放缩法：
①
②
2．常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于
③
第七章 直线和圆的方程
一、直线方程．
1．直线的倾斜角：一条直线向上的方向及轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线及轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是．
注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在．
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除及轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定．
2．直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式．
特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：．
注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线．
附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化．①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束．②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线．
3．（1）两条直线平行：
∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线．②在和的斜率都存在的前提下得到的．因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误．
（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）
推论：如果两条直线的倾斜角为则∥．
（2）两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在．②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在．（即是垂直的充要条件）
4．直线的交角：
（1）直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到及重合时所转动的角，它的范围是，当时．
（2）两条相交直线及的夹角：两条相交直线及的夹角，是指由及相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有．
5．过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）
6．点到直线的距离：
（1）点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有．
（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有．
7．关于点对称和关于某直线对称：
（1）关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等．
（2）关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等．
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线．
（3）点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程及对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点．
注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y．例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0．
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0．
二、圆的方程．
1．（1）曲线及方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 及一个二元方程的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解．
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）．
（2）曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标及方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点．
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2．圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是．
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：．
注：特殊圆的方程：
①及轴相切的圆方程
②及轴相切的圆方程
③及轴轴都相切的圆方程
3．圆的一般方程： ．
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径．
当时，方程表示一个点．
当时，方程无图形（称虚圆）．
注：①圆的参数方程：（为参数）．
②方程表示圆的充要条件是：且且．
③圆的直径或方程：已知（用向量可征）．
4．点和圆的位置关系：给定点及圆．
①在圆内
②在圆上
③在圆外
5．直线和圆的位置关系：
设圆圆：；直线：；
圆心到直线的距离．
①时，及相切；
附：若两圆相切，则相减为公切线方程．
②时，及相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为．
③时，及相离．
附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中及线方程．
由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：
及相切；
及相交；
及相离．
注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线．
6．圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：．
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2．特别地，过圆上一点的切线方程为．
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程．
7．求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程．如图：ABCD四类共圆．已知的方程…①
又以ABCD为圆为方程为…②
…③，
所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求．
第八章 圆锥曲线
一、椭圆方程．
1．椭圆方程的第一定义：
（1）①椭圆的标准方程：
i．中心在原点，焦点在x轴上：．
ii．中心在原点，焦点在轴上：．
②一般方程：．
③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）．
（2）①顶点：或．
②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长．
③焦点：或．
④焦距：．
⑤准线：或．
⑥离心率：．
⑦焦点半径：
i． 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出．
ii．设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出．
由椭圆第二定义可知：
归结起来为“左加右减”．
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆．
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经．坐标：和
（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．
（4）若P是椭圆：上的点．为焦点，若，则的面积为（用余弦定理及可得）．若是双曲线，则面积为．
二、双曲线方程．
2．双曲线的第一定义：
（1）双曲线标准方程：．一般方程：．
（2）①i．焦点在x轴上：顶点：，焦点：，准线方程，渐近线方程：或
ii．焦点在轴上：顶点：．焦点：．准线方程：．渐近线方程：或，参数方程：或 ．
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c．
③离心率．
④准线距（两准线的距离）；通径．
⑤参数关系．
⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足 （及椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

（3）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率．
（4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线．及互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：．
（5）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为．
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得．
（6）直线及双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条及渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条及渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条及渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条及渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无及渐近线平行的直线．
小结：过定点作直线及双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．
若直线及双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法及渐近线求交和两根之和及两根之积同号．
（7）若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n．简证： = ．
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b．
三、抛物线方程．
3．设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

焦点

注：①顶点．
②则焦点半径;则焦点半径为．
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的．
④（或）的参数方程为（或）（为参数）．
四、圆锥曲线的统一定义．．
4．圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹．
当时，轨迹为椭圆；
当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线；
当时，轨迹为圆（，当时）．
5．圆锥曲线方程具有对称性．例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线及双曲线的交点是关于原点对称的．
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD及BC的中点重合即可．
第九章 立体几何
一、平面．
1．经过不在同一条直线上的三点确定一个面．
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
2．两个平面可将平面分成3或4部分．（①两个平面平行，②两个平面相交）
3．过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面．（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个．
4．三个平面最多可把空间分成 8 部分．（X、Y、Z三个方向）
二、空间直线．
1．空间直线位置分三种：相交、平行、异面．相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线．（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面，b及的关系是相交、平行、在平面内．
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点．
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线．（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等．（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面．
2．异面直线判定定理：过平面外一点及平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线．（不在任何一个平面内的两条直线）
3．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）．
（二面角的取值范围）
（直线及直线所成角）
（斜线及平面成角）
（直线及平面所成角）
（向量及向量所成角
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等．
5．两异面直线的距离：公垂线的长度．
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直．
是异面直线，则过外一点P，过点P且及都平行平面有一个或没有，但及距离相等的点在同一平面内．（或在这个做出的平面内不能叫及平行的平面）
三、直线及平面平行、直线及平面垂直．
1．空间直线及平面位置分三种：相交、平行、在平面内．
2．直线及平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线及平面内一条直线平行，则∥．（×）（平面外一条直线）
②直线及平面内一条直线相交，则及平面相交．（×）（平面外一条直线）
③若直线及平面平行，则内必存在无数条直线及平行．（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面．（×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行．（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行．（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线及平面、所成角相等，则∥．（×）（、可能相交）
3．直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（“线面平行，线线平行”）
4．直线及平面垂直是指直线及平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
l 若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），
得不出⊥．因为⊥，但不垂直OA．
l 三垂线定理的逆定理亦成立．
直线及平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面．（“线线垂直，线面垂直”）
直线及平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行．（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行．（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行．（√）
5．（1）垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；
③垂线段比任何一条斜线段短．
[注]：垂线在平面的射影为一个点．[一条直线在平面内的射影是一条直线．（×）]
（2）射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
四、平面平行及平面垂直．
1．空间两个平面的位置关系：相交、平行．
2．平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行．（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行．
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面．
3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行．（“面面平行，线线平行”）
4．两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直．
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面及一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面．（“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系．
5．两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面．
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面．
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，
因为则．
6．两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有）
7．（1）最小角定理：（为最小角，如图）
（2）最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条．
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条．
成角比交线夹角一半大，又及交线夹角相等，一定有3条或者2条．
成角比交线夹角一半小，又及交线夹角一半小，一定有1条或者没有．
五、棱锥、棱柱．
1．棱柱．
（1）①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的．
②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的．
（2）{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}．
{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}．

（3）棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．
②棱柱的两个底面及平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形．
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱．（×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直．
（4）平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点．
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．
推论一：长方体一条对角线及同一个顶点的三条棱所成的角为，则．
推论二：长方体一条对角线及同一个顶点的三各侧面所成的角为，则．
[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱．（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体．（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱及底面的两条边垂直．（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2．棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．
[注]：①一个棱锥