求导在解高考数学函数压轴题中的应用.doc

求导在解高考数学函数压轴题中的应用
求导在解高考数学函数压轴题中的应用
【理·2010全国卷一第20题】已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得
则由可知，化简得
，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，再对求导有
，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数。
所以在时有最大值，即。又因为，所以。
再看第二问。
要证，只须证当＜时，；当＜时，＞即可。
由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当＜时，；当＜时，＞，即在区间上为减函数，所以有当＜时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当＜时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。
下面我们再接着分析当＜时的情况，同理，当＜时，＞，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。
综上，得证。
【理·2010安徽卷第17题】（本小题满分12分）
设为实数，函数。
（Ⅰ）求的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞。
第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。
，继续对求导得

减
极小值
增
由上表可知，而
，由＞知
＞，所以＞，即在区间上为增函数。
于是有＞，而，
故＞，即当＞且＞时，＞。
【理·2012东北三校高考第一次模拟考试第21题】（本小题满分12分）
已知函数。
（1）设a=1，讨论的单调性；
（2）若对任意，，求实数a的取值范围。
解：（Ⅰ），，定义域为．
． ……2分
设，则．
因为，，所以在上是减函数，又，于是
，，；，，．
所以的增区间为，减区间为． ……6分
（Ⅱ）由已知，因为，所以．
（1）当时，．不合题意． ……8分
（2）当时，，由，可得．
设，则，．．
设，方程的判别式．
若，，，，在上是增函数，
又，所以，． ……10分
若，，，，所以存在，使得，对任意，，，在上是减函数，又，所以，．不合题意．
综上，实数的取值范围是． ……12分
【理·2010山东第22题】 (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.

（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。
21．（本小题满分12分）
设函数，．
（Ⅰ）当时，证明在是增函数；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
解：（1），
当时, , ---------2分
令，则，
当时，，所以在为增函数，
因此时，，所以当时，，
则在是增函数. ---------6分
(2)由,
由(1)知,当且仅当等号成立.
故,
从而当 , 即时, 对, ,
于是对.
由得,
从而当时,

故当时,,
于是当时,,
综上, 的取值范围是.---------12分
21. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）当且时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；
（2）若有零点,，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有≥0.
①求的表达式；
②当时，求函数的图象及函数的图象的交点坐标.
解：（1） ………………2分
由，故
时 由 得的单调增区间是，
由 得单调减区间是
同理时，的单调增区间，，单调减区间为 5分
（2）①由（1）及 （i）
又由 有知的零点在内，
设，
则，结合（i）解得， …8分
∴ ………………9分
②又设，先求及轴在的交点
∵， 由 得
故，在单调递增
又，故及轴有唯一交点
即及的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求…………12分

21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围；
（3）求证：
解：(Ⅰ) 当时
的单调递减区间为 ………………………………… 4分
(Ⅱ) 由 得
记

当时 在递减
又
………………………………………………………… 8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知
取得 即
…… 12分

21.（本小题满分12分）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.
【试题解析】⑴令,得.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分)
⑵由于，所以.
构造函数，则令，得.
当时，；当时，.
所以函数在点处取得最小值，即.
因此所求的的取值范围是. (7分)

⑶结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：
.
构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令，则，显然是减函数.
又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，
，
.
所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.

题目要找的，理由是：
当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；
当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)
21.（本小题满分12分）
已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求实数a,b的值
⑵曲线上存在两点、，使得△是以坐标原点为直角顶点的直
角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围；
⑶当时，讨论关于的方程的实根个数.
【试题解析】解：⑴当时，.
因为函数图象在点处的切线方程为.
所以切点坐标为，并且
解得. (3分)
⑵由⑴得，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设，，.
若，则，
由是直角得，，即，
即.此时无解；
若，则. 由于的中点在轴上，且，所以点不可能在 轴上，即. 同理有，即， ，由于函数 的值域是，实数的取值 范围是即为所求. (7分)
⑶方程，即，可知0一定是方程的根，
所以仅就时进行研究：方程等价于.
构造函数
对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，当时取得最大值，其值域是；
对于部分，函数，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得
最大值1，其值域是，，并且当无限增大时，其图像在轴上方向右无限接
近轴但永远也达不到轴. (10分)
因此可画出函数的图像的示意图如下：

可得：
① 时，方程只有唯一实根0；

②当时，方程有两个实根0和；
③当时，方程有三个实根；
④当时，方程有四个实根；
⑤当时，方程有五个实根；
⑥当时，方程有两个实根0和1；

⑦当时，方程有两个实根. (12分)
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