竞赛复习科目数学-高中数学竞赛总复习一.doc

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习(一)

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（一）
复习内容：高中数学第三章-数列
编写时间：2005-5
修订时间：总计第一次 2005-5
一、数列专题
（一）数列常见题型形式.
一、以极限为载体，考查等比数列中当＞1时，等比数列极限不存在. 当＜1时，等比数列极限存在. 若等比数列和的极限存在，则一定有＜1. 当数列的极限存在是，则.
1. 设为等差数列，为等比数列，且（a1＜a2），又，试求的首项及公差.

2. 数列由下列条件确定：. 若数列的极限存在，且大于零，求的值.

二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比及分比定理.
例： 等比数列的公比是 .

三、求参数最值通常考虑判别式法.
1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方及其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.

四、 若以集合形式出现，常常题目要隐藏其集合的包含及被包含关系.
1. 若 和 分别表示数列和前项和，对任意正整数，.设集合.若等差数列的任一项是中的最大数，且＜＜，求的通项公式.

（二）求常见数列的方法.
一、求数列的通项.
I. 形如的一阶递归式，其通项求法为.
II. 形如的递归式，其通项求法为.
注意：①形如当数字特殊时可考虑转化为的形式，再叠乘可求出通项.②形如常需要转化为或.例如：有
有有.
1. 数列确定，求通项.

2. 在数列中，，且，求.

III. 形如的递归式，有方法一，两式相减得，故是首项为，且公比为的等比数列，先求出，再求出.有方法二转化等比：.有方法三：迭代法…=有公式，由确定. 有方法四：特征根方法.
IV. 形如的递推式，有方法一两边同除以，得，令，则，仿2求得，再求. 有方法二递推法. 例如：当为一次函数时及相减有仿III. 可求出.
1. 已知数列，中，且
（1）求； （2）求.

V. 形如或的递推式，方法一两边取对数有，令，则，仿4求得，再求. 方法二有

1. 在数列中，，且，求

2. 数列满足，求通项.

VI. 高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为，则我们可用构造新数列使，最后.
高阶等差数列：给定一个数列，令，则称数列为的一阶差数列，而的一阶差数列称为的二阶差数列，递推地，可以定义的阶差数列.如果数列的阶差数列是一非零常数列，则称数列是阶等差数列.=1时，数列就是我们通常所说的等差数列，时，数列称为高阶等差数列. 数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式. 例如：数列2、4、7、11、16……经观察发现成等差，故令.
进而有.
1. 求数列：1，3，8，20，43，81，…的一个通项表达式.

VII. 不动点法：设数列满足.
①若有两个不相等的不动点，则数列是等比数列，可用 来求. ②若有两个相等的不动点，则数列是等差数列，公差d可用，来求. 注：形如亦可用不动点法.
证明：令，即，令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2，则有
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=.
若x1≠x2则有其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=.
1. 设满足求通项.

2. 数列满足求.

VIII. 裂项法：常见的有等.
1. 数列满足 ，且，求.

IX. 取倒法：常用于对复杂分式转化为或等等常见数列形式.
1. 在数列中，，，求.

X. 换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列. 最重要的是三角换元法的应用.
1. 已知数列的前项和及之间满足，且，求.

2. 已知数列中，，求通项.

3. 数列满足 且求通项.

4. 设正数列满足，且，求.

5. 已知数列 满足，求.

二、求数列的和.
I. 求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要及二项式定理联系（能够用错位相消法求和的数列问题，都可以用求导方法去做）.
1. 已知，求数列的前项和.

2. 已知，求数列的前项和.

3. 求和.

II. 形如时，则求和变为当为偶，-及+恰好抵消完；当为奇数时，剩一个-，故或.
1. 已知是由非负整数组成的数列，满足
①求；
②证明
③求的通项公式及其前项和.

三、周期数列.
1. 设数列 定义求.

2. 设数列满足，且对任意自然数都有又，则的值是 .

【2005高中数学联赛预测】
1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方及其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.

2. 设数列满足.
（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当时，证明对所有的，有① ；②

3. 数列满足：，求的整数部分.

4. 3个数列存在下列关系：，这里为正常数.
（1）求；
（2）证明：若，必有＞0；
（3）若数列的最小项为求的取值范围.

5. 两个数列，满足 试求通项和

6. 数列，满足 ，证明下列命题：
（1）＜＜；
（2）对任何正整数，有＞；
（3）对任意整数，有＜.

7. （不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项和为，则这样的数列共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

《雷氏笔录》数学组 编写
2005年5月18日

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（二）
复习内容：高中数学第七、八章-解析几何
编写时间：2005-5
修订时间：总计第一次 2005-5
二、解析几何专题
一、 关于定值的证明. 平面解析几何有方法一：先取特殊位置，求出这个定值，再证明一般情况下也等于这个定值. 有方法二：直接证明法.
1. 已知圆，直线.若连线的中点为M，及的交点为N， 求证为定值.

2. 如图，M是圆C：上的动点，O是坐标原点，N是射线OM上的点，
，求N点的轨迹方程.

二、共线问题经常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法—大胆设参构造.
1. 已知抛物线及定点.M是抛物线上的点，设直线AM、BM及抛物线的另一个交点为M1、M2.
求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1、M2 存在且）直线M1、M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

三、看到有长度大小关系的直线方程时，又有动点及定点要考虑直线的参数方程.
1. 过不在椭圆上任意一点P作两条直线和，分别交椭圆于A、B、C、D四点，若、的倾斜角为且.求证：A、B、C、D 四点共圆.

四、曲线系方程.
1. 已知MN是圆O的一条弦，R是弦MN的中点，过R任作两条相交弦AB和CD.过A，B，C，D四点的二次曲线T交MN于P，Q两点. 求证：R是PQ的中点.

五、涉及整数点问题的最值问题用余数法.
1. 直角坐标平面内横坐标及纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线的距离的最小值为 .

六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以减少运算.
1. 已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围.

【2005高中数学联赛预测】
1. 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 .

2. 设双曲线的两支为如图，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，- 1）在上，Q、R在，求顶点Q、R 的坐标.

3. 已知椭圆ε：＝1(a＞b＞0)， 动圆Γ：x2＋y2＝R2，其中b＜R＜a.
若A是椭圆ε上的动点，B是动圆Γ上的动点，且使直线AB及椭圆ε和动圆Γ均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值. （2004年四川初赛试题）
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为:y＝kx＋m
因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有
将(1)代入(2)得：(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0
由于直线及椭圆相切，故△＝(2kma2)2－4(a2k2＋b2)a2(m2－b2)＝0
从而可得：m2＝b2＋a2k2，x1＝－ (3)
同理，由B既在圆上又在直线AB上，
可得：m2＝R(1＋k2)，x2＝－ (4)
由(3)(4)得：k2＝，x2－x1＝
∴|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝
＝＝a2＋b2－R2－
＝(a－b)2－(R－)2≤(a－b)2.
即|AB|≤a－b，当且仅当R＝时取等号.
所以，A、B两点的距离|AB|的最大值为a－b.

《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月18日

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（三）
复习内容：高中数学第三、七、八章
编写时间：2005-5
修订时间：总计第一次 2005-5
三、数列、解析几何热点专题
数列
一、奇偶数列.
若为奇数项的数列，若为偶数项的数列，则有.

二、特征方程.
形如（p、q为二阶常数）方法一用特征根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
有方法二，. 有方法三迭代法，迭代法是解决一切数列问题的通法.

三、求和.
主要方法：倒序相加、错位相减、数学归纳法.
⑴等差数列的前项和为，在＜0时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使＜0，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列及一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶①1+2+3 …+n = ② ③

四、等差、等比数列.
若，均是等差数列，则也是等差数列. 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.

解析几何
一、几种常见的圆锥曲线问题.
[题型示例一]若椭圆的左右焦点分别是过
且倾斜角为θ的直线交椭圆为两点，若
则椭圆的离心率为e = .
解：
.
注：本题变为求直线AB的方程，解法如上，将转为求,则可确定，又过，故直线AB方程可确定.如果采用定比分点，则运算量大，但是若A、B不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了.
[题型示例二]已知抛物线，当一条过焦点的直线及抛物线交于A,B两点,求的值.
解（一）：当k存在时，代入则，
，当k不存在时，，成立. 故成立.
解（二）：
[题型示例三] 如图，一条过焦点F的直线及抛物线交于A，B. A,M,O三点共线，
MN是抛物线的准线. 求证：MB∥x轴.
证：为过O点直线，kAO= kOM，所以.
综上：，.
故MB为平行x轴直线.
变题：若证AOM共线呢？提示：要证AOM共线，即证kAO= kOM，下面就如上法炮制了.
[题型示例四]如下图，抛物线的焦点为F，CD为准线，P为AB的中点.
求证：AMB共圆，∠CFD为直角.
证（1）：因为，故AF = AC ,DF = DB. 又因为PM为梯形CABD
的中位线，故PM =,故MP=AP=BP,所以AMB共圆，
且P为三角形AMB外心.
证（2）：.
注：[题型示例四] 拓展1：根据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为圆及准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆及准线是相离关系.
拓展2：ABM中最大角为90°，这时是的临界条件，这条准线上其它的点及A、B构成的三角形是锐角，故若要使ABM为钝角，只需或为锐角.过A作垂直于AB的直线交L于E，则在E上方（不包括E）的点及A、B构成三角形为钝角，但是由于AB这条直线及准线要相交（这里要检验，是否在所求范围内），同理过B作垂直于AB的直线交L于F，则在F下方（不包括F）及A、B构成的三角形都是钝角.
[题型示例五]如下图，抛物线，一直线交抛物线于A，B，且AO⊥BO. 求证：直线AB过一定点.
证：设,令lOA：y=kx
令lOB：y=，故
，故lAB可求得恒过(2P,0).
[题型示例六] 已知抛物线，焦点为F，一直线交抛物线于A，B，求证：.
证： ，.
二、区域问题：当求整点个数常用数列逼近法.
1. 直角坐标平面上，求满足不等式组的整点的个数.

2. 一张纸上画有半径为R的圆O及圆O内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上，某一点刚好及A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.（2003全国高中联赛）

三、圆的幂及根轴. 过定点A 任作直线交定圆于B、C两点，则为定值，该定值称为定点A对定圆的幂
1. 向以原是为圆心，半径为1的圆A和另一圆B所引切线长相等的点在直线上，求圆心B的轨迹方程.

四、及数论结合.若g是质数，P是正整数，若构造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23时g=23.
1. 一次函数的图象经过点（10，13），它及x轴的交点为（p，0），及y轴的交点为（0，q），其中P是质数，q是正整数，则满足条件的所有一次函数为 .

【2005高中数学联赛预测】
1. (数形结合)已知两点A(- 2, 0),B(0 ,2),点C是圆上的任意一点，则的面积最小值是（ ）
A. B. C. D.
2. (立体几何及余弦定理综合)设A，B，C，D是空间四个点，满足AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，则△BCD是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定

《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月24日

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（四）
复习内容：高中数学第二章-函数
编写时间：2005-5
修订时间：总计第一次 2005-5
四、函数专题
一、函数及方程.
I. 发现和利用函数的奇偶性，函数的奇偶性常常及函数方程结合.
1. 求的图象及x轴的交点坐标.

II. 三元二个方程一定不能求出解，若要求出解一定是（无交叉项时）或（有交叉项时）或者是以x为主元，其判别式只有k=0故可求出其一变量的值.
2. 已知且则 .

3. 求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：

III. 求选对偶式解方程题或者利用不等式来凑，即凑出原方程小于某一常数，但此方程又等于这一常数.则等号成立条件即为方程的解. 例如：，则必有.
1.求所有的实数x，使得.

二、函数的最值，对二次函数的值域属于R的充要条件是.
1. 若k是实数，，对任意三个实数a，b，c，存在一个以为三边长的三角形，求k的取值范围.

三、函数及不等式.
1. 设时，恒有，求证：当时，有.

《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月24日

竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（五）
复习内容：高中数学第四章-三角函数
编写时间：2005-5
修订时间：总计第一次 2005-5
五、三角函数专题
一、求三角函数的最值.
1.刑如.
1. 如果，则的最大值是 .

2. 设，求证：.

2. 三角函数中的连体常常是首尾相乘为一常数，连加常常是裂项相消法.
1. 求值.

2. 化简.

3. 三角代换.
1. 设，试求的最大值.

2. 函数的值域是 .

3. 已知 求tanx tany tanz 的最大值.

4. ，求的最小值.

5 . 化简.

二、反三角函数.
1. 函数的值域是 .

四、及解析几何综合.
1. △ABC 的内角满足 试判定 △ABC的形状.

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