新一轮课改后的高考数学试题动态分析.doc

新一轮课改后的高考数学试题动态分析
新一轮课改后的高考数学试题动态分析
一．新课程高考数学试题概述。
     新一轮基础教育课程改革是“新课改”的全称，上世纪末，中共中央、国务院提出要“深化教育改革，全面推进素质教育”，新课改的目的就是要在21世纪构建起符合素质教育要求的基础教育课程体系。其核心在于通过变革人才培养模式，发展学生创新精神和实践能力。
     高中新一轮课程实验于2004年启动，海南、广东、山东、宁夏为首批实验区。2005年，江苏成为实验区。2006年，实验范围又扩大到福建、辽宁、浙江、安徽、天津五省市，初步形成了东部沿海省市全面推进高中新课程的格局。2007年秋季新学期，全国又有北京、陕西、湖南、黑龙江、吉林等5个省市高一新生进入新课程实验，今年教育部也批复了山西、江西、河南、新疆等省（区、兵团）进行普通高中新课程实验。至此，全国已有19个省市、自治区成为高中新课程实验省份，约占全国高中总量的60%。
     从2007年开始,山东、广东、海南、宁夏四个省区率先进行了新一轮课改后的高考，2008年又增加了江苏省，共五个省区进行了新课程高考。其中海南、宁夏两个省数学试题相同，山东及广东各自单独命题。除江苏省文理合卷外，其他省分都是文理分卷。
从2007，2008两年新课程数学试卷来看，其主要特点有：认真贯彻执行《考试大纲》和《考试说明》的要求；坚持两个“有利于”的命题原则；充分反映新课标内容和要求上的变化；侧重考查中学数学主干知识和方法；考查学生的应用意识和“三维目标”；加强对数学思想方法及数学能力的考查力度，努力体现数学学科特点。
从试题难度上来讲，除山东省2008年数学试题难度较2007年有大幅提升外，其他各省2008年数学试题难度及2007年基本持平，并有下降趋势；从分值上来讲，江苏省2008年高考数学增至160+20+20分；从试题结构上来讲，变化最大的是2008年江苏省的高考数学试题，卷一由12道填空题，六道解答题组成。卷二由4道选做题（4选2），外加2道必做题组成，试题风格向上海靠近，此外，广东，海南/宁夏三个省在2007，2008两年的高考试题中，都出现了选做题，为学生提供多样选择；从计分方式上来讲，多年实行记标准分的广东省又改为记原始分。
       2007，2008两年新课程高考数学卷折射出的新课标的变化.从这两年新课程高考数学试卷来看，及课改前相比许多考试内容和要求都发生了很大的变化；高考命题思路和方向也有所不同.这些问题要引起高中每一位数学教师的注意，更要有一个清醒的认识和明确的导向，这样才有可能全面提高教学效率和质量。
1．立体几何在试卷中大约占20分以上，试题难度适中，比较稳定，通常位于解答题的中间位置.在新课标中文科的立体几何解答题及理科有了明显的区别.新课标和新考纲中“四个画出”强调的是几何直观能力，具体地来说就是“识图、读图、想图、画图”的能力.文科适当地淡化和降低了逻辑推理证明的要求，删去了空间角和距离（空间两点间距离公式除外）的计算.文理科保留了几何体的面积和体积计算.理科更倡导“以算代证”。
2．算法及框图是新课标主要新增内容之一.对于这部分的学习和复习的要点是，我们现在学习的算法就是掌握一种梳理和简化描述和解决问题过程的方法.框图是算法的一种呈现方式，程序语言是实现算法的一个载体.这部分的复习关键是对算法及框图的理解和掌握，不要混同于计算机程序设计.注意人教A版和B版教材中循环结构的处理有所不同. 人教A版又把循环结构细分为：当型和直到型，实际考题中依据课标和考纲不会严格地这样分类（见2007/2008年山东省高考数学试题）
例1.（2007年山东理10）阅读下边的程序框图，若输入的 是100，则输出的变量 和 的值依次是（    ）
A．2500，2500                B．2550，2550     C．2500，2550           D．2550，2500`
例2.（2008年山东理13）．执行右边的程序框图， 若 ，则输出的     ．
解： ，因此输出
开始

?

是

输入p

结束

输出

否

开始

输入

结束

输出

否

是

（2008年山东理13题图）
（2007年山东理10题图）
3．“函数及导数”是整个高中数学的一条主线，也是试卷的骨架. 如果包括三角函数和数列的话，函数内容通常在试卷中占到三分之一以上，函数是综合题及压轴题的主要载体，是高等数学及初等数学的结合点，导数是用来研究函数性质的工具.函数的性质及图象变换是复习的重点.注意一是重点研究初等数学中基本函数类型，如一次、二次、三次函数；幂、指、对数函数；三角函数；简单的复合函数、分段函数、组合函数及抽象函数等.二是重点研究函数基本性质，如定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性、最值、定点、渐进线、切线、零点等，进行综合训练.形成良好的数学知识方法结构，培养函数及方程、分类及整合、转化及化归、数形结合等数学思想方法，提高数学能力和素养。如今年山东卷关于函数的试题数量多，分量重. 文理（3）给出函数解析式，判断其图象；理（4）利用函数图象的对称性，求解析式中的待定系数；理（12）求及可行域有公共点时函数表达式中的参数的取值范围；文（12）根据函数图象确定函数解析式中的参数；文理（17）利用函数图象的几何性质确定参数等.考查了数形结合的数学思想方法.文（21）利用两个极值点，建立两个方程，求出函数解析式中的系数.另外求解关于导数的不等式需要利用相应函数的性质.理（21）关于导数的试题也有类似的解题思路等，考查了函数及方程的数学思想方法
4. 统计及概率是新课标的特色，是新课程高考数学必考内容之一.学习和掌握这部分内容，首先要注意统计思维及确定性思维的差异．统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据. 概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础. 统计及概率的思想方法有助于培养人们以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观及方法论，为以后进一步学习和工作做好准备. 统计的考试内容主要有随机抽样、茎叶图、用样本估计总体、回归分析和统计案例.但是由于山东省数学高考不允许使用计算器，考生不可能在考试的短时间内处理大量数据，因此这一部分的考查方式和力度十分有限。
文科概率要求较低，也较少，只要掌握古典概型（包括几何概型）即可.理科要求相对高一些，相应的考试内容也多一些.除文科要求的内容之外，还有条件概率、离散性随机变量的分布列及数学期望、三个分布、排列组合等相关知识点
    5.解析几何删去了部分内容，特别是文理要求范围和层次有很大的区别.解析几何部分在试卷中通常占20分以上，在新课标的要求中其分量较之前已有下降，特别是文科解析几何部分.如山东卷文科是以直线和椭圆为载体，用待定系数法和一般的轨迹法求曲线方程；理科是以抛物线为载体，除了用相关点法求轨迹方程外，理科试题增加了探究性的考查. m3iZv@$  
二．新课程高考数学大纲新增考点及删除/降低要求/提高要求的考点。
A, 新增考点
1.幂函数.    2.函数的零点.     3.二分法.       4.空间几何体的结构.      
5.函数模型及应用.     6.空间几何体的投影及三视图        7.算法初步.          8.众数,中位数及平均数.    9.空间直角坐标系       10.三角函数模型的简单应用
11..频率分布折线图.         12.茎叶图             13.随机数及均匀.随机数的产生.        
14.几何概型.              15.全称量词及存在量词, 全称命题及特称命题.(2—1)
16.生活中的优化问题举例. (2—2)
17.定积分的概念, 定积分的运用, 微积分基本定理. (2—2)
18.合情推理及演译推理.  (2—2)           19.直接证明及间接证明. (2—2)
20.两点分布,贝努力分布,超几何分布. (2—3)18.条件概率. (2—3)
21.回归分析的基本思想及初步运用. (2—3)
22.独立性检验的基本思想及初步运用. (2—3)
23.统计案例(1-2文科)         24.框图(1-2文科)
25.几何证明选讲(相似三角形的判定及有关性质,直线及圆的位置关系,圆锥曲线性质的探讨) (4—1)      26.坐标系的选择及参数方程(4—4)
27.不等式选讲(. 型的不等式,柯西不等式及排序不等式) (4—5)
28.优选法及实验设计初步(4—5)
B, 删除的考点
1..三垂线定理及其逆定理      2.余切函数、已知三角函数值求角      3. 平移公式                 
4. 分式不等式              5.函数的极限、极限四则运算、函数的连续性
C. 降低要求的考点。
1. 函数定义域、值域，反函数只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，反函数的定义不要求，求具体函数的反函数也不要求
2．仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；对棱柱、正棱锥、球的性质由掌握降为不作要求；判定定理
3.任意角概念、同角三角函数关系由三个减少为两个、三角恒等式证明
4.线段定比分点5.解不等式.6.逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义、四种命题及其关系由理解变为了解不要求使用真值表.7.不再要求“直线到直线的角”和“两条直线的夹角” ；不再要求两条相交直线的位置关系作精确研究，只对两条直线的特殊位置关系（平行、垂直）进行研究.     8. 双曲线的定义、几何图形、标准方程由理解变为了解，其性质由掌握变为知道，文理有别.       9.组合数两个性质
D. 提高要求的考点。
1.Venn图的应用.2. 分段函数的应用.3. 函数单调性.4. 函数及方程、函数模型及其应用.
5. 性质定理.6.空间直角坐标系.7. 几何概型.8. 随机数、茎叶图.9. 等差数列及一次函数的关系,等比数列及指数函数的关系10. 一元二次不等式背景和应用，加强了及函数、方程的联系.11. 离散型随机变量及其分布列的概念、离散型随机变量的期望值、方差.12. 全称量词及存在量词
是

否

开始

输入a,b,c

x=a

b>x

输出x

结束

x=b

x=c

否

是
三．新课程高考数学试题的新特点。
1．青睐新增考点。
例3．(2008海南/宁夏文、理5)
右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，
要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，
应该填入下面四个选项中的（A）
A. c > x               B. x > c               C. c > b              D. b > c
例4．(2008广东理5)已知命题p：所有有理数都是实数，
命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）
A．     
B.      
C.    
D.
例5 (2008山东文4)给出命题：若函数 是幂函数，
则函数 的图象不过第四象限．在它的逆命题、
否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（C）
A．3                B．2                  C．1                  D．0
例6．(2008广东理5)将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
E

F

D

I

A

H

G

B

C

E

F

D

A

B

C

侧视

图1

图2

B

E

A．

B

E

B．

B

E

C．

B

E

D．

①正方形

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥
例7.(2007山东文理3)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D）
A．①②           B．①③           C．①④           D．②④
例8.(2008山东文)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10

          A．             B．         C．3        D．
例
2  9  1  1  5  8
3  0  2  6
3  1  0  2  4  7
9．(2008山东理)右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（    ）
A．304.6               B．303.6          C．302.6          D．301.6
解：
例10. (2008山东理6)
俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

2

3

2

2
．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（    ）
A．               B．           
C．             D．
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球
和一个圆柱组合而成的，其表面及为

例11. (2007山东7)．命题“对任意的 ， ”的否定是（C ）
A．不存在 ，             B．存在 ，
C．存在 ，                D．对任意的 ，
例12. (2007海南/宁夏1)．已知命题 ， ，则（  ）
Ａ． ，           Ｂ． ，
Ｃ． ，             Ｄ． ，      
例13.(2008广东理6)．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 .
（A）i<6  (B) i<7  
 (C) i<8   (D) i<9
答案：C；
解析：S= ；
例14．（海南宁夏卷理10）由直线 ，x=2，曲线 及x轴所围图形的面积是（    ）
A.                         B.                        C.                 D.
【标准答案】：Ｄ 
【解析】所围图形的面积为 ；故选Ｄ；
2．突出考查学生学习数学的潜能，注重及高等数学接轨
例15．（2007广东理8）
设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“*”，（即对任意的 ，对于有序元素对（ ），在 中有唯一确定的元素 及之对应）．若对任意的 ，有 ，则对任意的 ，下列等式中不恒成立的是（A）
A．                 B．
C．                        D．
例16．(2008福建文)设P是一个数集，且至少含有两个数，
若对任意 ，都有 （除数 ），则称P是一个数域。
例如有理数集Q是数域，有下列命题： 
①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集 ，则数集M必为数域；④数域必为无限域。     其中正确的命题的序号 是    ①④     （把你认为正确的命题序号都写上）
例17．(2008福建理)设P是一个数集，且至少含有两个数，
若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、 ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.
例如有理数集Q是数域；数集 也是数域.有下列命题：
①整数集是数域；                                 ②若有理数集 ，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；                            ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是③④.（把你认为正确的命题的序号填填上）
例18．（2008北京理）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点 处，其中 ， ，
当 时，
表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为      ；  
第2008棵树种植点的坐标应为       ．       
例19．(2008江苏23)请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，
得：
由求导法则，得 ，化简得等式：
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式 ＝  （ ，正整数 ），证明： ＝ ．
（2）对于正整数 ，求证：
（i） ＝0；    （ii） ＝0；    （iii） ．
证明：（1）在等式 两边对 求导得
          移项得                 （*）
（2）（i）在（*）式中，令 ，整理得      所以   
（ii）由（1）知
两边对 求导，得
在上式中，令     
即 ，    亦即          （1） 
又由（i）知          （2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式 两边在 上对
积分
    由微积分基本定理，得
    所以 
例20．（2008上海15.） 如图，在平面直角坐标系中， 是一个及 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点 、 的定圆所围成的区域（含边界）， 是该圆的四等分点. 若点 、点 满足 且 ，  则称 优于 . 如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧    [答] ( D )
(A)     .          (B)     .            (C)     .          (D)     .
3．设计选做题或开放性试题，为学生提供多样选择。
2007/2008年，在广东省数学试题中，出现了供学生选做的填空题（三选二，三题全答，只计算前两题得分），在海南，宁夏的数学试题中，出现了供学生选做的解答题（三选一，三题全答，只计算第一题得分），2008年，在江苏省的高考数学试题中，出现了四道附加题，供学生选做其中二道。选做题全部是高中数学新课程中的选修内容。
例21．(2007广东理13)．（坐标系及参数方程选做题）
图5

在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （参数 ），圆 的参数方程为 （参数 ），
则圆 的圆心坐标为          ，圆心到直线 的距离为        ．
(2007广东理14)．（不等式选讲选做题）
设函数 ，则       ；若 ，则 的取值范围是   ．
(2007广东理15)．（几何证明选讲选做题）
如图5所示，圆 的直径 ， 为圆周上一点， ．过 作圆 的切线 ，过 作 的垂线 ， 分别及直线 、圆 交于点 ，则      ，线段 的长为        ．
例22. (2007海南/宁夏22)．
请考生在 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知 是圆 的切线， 为切点， 是圆 的割线，及圆 交于 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点．
（Ⅰ）证明 四点共圆；
（Ⅱ）求 的大小．
Ｂ.（本小题满分10分）
选修4－4：坐标系及参数方程
圆 和圆 的极坐标方程分别为 ．
（Ⅰ）把圆 和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过圆 和圆 交点的直线的直角坐标方程．
Ｃ.（本小题满分10分）选修 ；不等式选讲
设函数 ．（I）解不等式 ； （II）求函数 的最小值．
B

C

E

D

A
例23．（2008年江苏21）（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．
A．选修4—1　几何证明选讲
如图，设△ABC的外接圆的切线AE及BC的延长线交于点E，
∠BAC的平分线及BC交于点D．求证： ．
B．选修4—2　矩阵及变换
在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
C．选修4—4　参数方程及极坐标
在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值．
D．选修4—5　不等式证明选讲
设a，b，c为正实数，求证： .
例24．(2008全国卷Ⅱ16)
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①                                               ；
充要条件②                                                ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；
对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
4．更加注重对数学应用能力及概括表达能力的考查
例25．(2008海南/宁夏文、理16)
甲品种：
271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307

308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352

乙品种：
284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318

320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356

从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
以上数据设计了如下茎叶图：
甲

乙

3
1
27

7
5
5
0
28
4

5
4
2
29
2
5

8
7
3
3
1
30
4
6
7

9
4
0
31
2
3
5
5
6
8
8

8
5
5
3
32
0
2
2
4
7
9

7
4
1
33
1
3
6
7

34
3

2
35
6

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①____________________________________________________________________________
②____________________________________________________________________________
．解：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度
（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
（2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．
（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．
甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．
甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
例26．(2007广东理17)．（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）及相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据．

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（3）已知该厂技改前 吨甲产品的生产能耗为 吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值： ）
解析：
（１）   略；
（２）   方法1（不作要求）：设线性回归方程为 ，则
∴ 时，
取得最小值
即 ，∴ 时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；
所以线性回归方程为 ；
方法2：由系数公式可知，
，所以线性回归方程为 ；
（３）ｘ＝１００时， ，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低１９．６５吨标准煤．
例27.(2007海南/宁夏20)．（本小题满分12分）

如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值
及实际值之差在区间 内的概率．
附表：

解：每个点落入 中的概率均为 ．   依题意知 ．
（Ⅰ） ．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
四．新课程高考数学试题的启示及复习建议。
1．“主干 基础 能力 思想”构成高三数学复习的主旋律。
2．“函数及导数”，“曲线及方程”是高中数学的两条主线。
3．“创新及应用”是高考数学永恒的主题。
4．重视对学生进行非智力因素的培养及心理疏导

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