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九年级数学上学期期末试题
2016年11月21日397633785的初中数学组卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则下列关系中不成立的是（　　）
A．b=c•cosA B．a=b•tanB C．c= D．tanA•tanB=1
3．（3分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，则其结果恰为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．28
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）

A． B．1 C． D．2
7．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE及S△CDE的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
8．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC及△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（　　）

A．36 B．12 C．6 D．3

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
9．（3分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　　．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC及BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．

11．（3分）一个由若干个小正方体组成的几何体，从左面看到的视图和从上面看到的视图如图所示，则该几何体最少需要　　小正方体；最多可以有　　小正方体．

12．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=　　．

13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．

14．（3分）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为　　米．

15．（3分）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为　　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
17．（9分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
18．（9分）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．

19．（9分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

20．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．

21．（10分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y及x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
22．（10分）给出函数．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣

1
2
3
4
…
y
…

…
②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：

③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第　　象限；
②函数图象的对称性是（　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，而是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
③在x＞0时，当x=　　时，函数y有最　　（大，小）值，且这个最值等于　　；
在x＜0时，当x=　　时，函数y有最　　（大，小）值，且这个最值等于　　；
④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增
大而增大；
（4）方程是否有实数解？说明理由．
23．（11分）如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数y=（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．
（1）求反比例函数y=的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式；
（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年11月21日397633785的初中数学组卷
参考答案及试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2016•鄂州）一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】从左面看会看到该几何体的两个侧面．
【解答】解：从左边看去，应该是两个并列并且大小相同的矩形，故选B．
【点评】本题考查了几何体的三视图及空间想象能力．

2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则下列关系中不成立的是（　　）
A．b=c•cosA B．a=b•tanB C．c= D．tanA•tanB=1
【分析】根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可．
【解答】解：cosA=，则b=c•cosA，A成立；
tanB=，则b=a•tanB，B不成立；
cosB=，则c=，C成立；
tanA•tanB=1，D成立，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．（3分）（2016•湖州）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，则其结果恰为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|=2的解，即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣4|=2，
∴x=2或6．
∴其结果恰为2的概率==．
故选C．
【点评】本题考查概率的定义、绝对值方程等知识，解题的关键是理解题意，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，属于中考常考题型．

4．（3分）（2015•青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．28
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．

5．（3分）（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况及判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．（3分）（2016•淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意得出△PAM∽△QBM，进而结合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，进而求出答案．
【解答】解：连接AP，QB，
由网格可得：∠PAB=∠QBA=90°，
又∵∠AMP=∠BMQ，
∴△PAM∽△QBM，
∴=，
∵AP=3，BQ=，AB=2，
∴=，
解得：AM=，
∴tan∠QMB=tan∠PMA===2．
故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定及性质以及锐角三角函数关系，正确得出△PAM∽△QBM是解题关键．

7．（3分）（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE及S△CDE的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE及S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

8．（3分）（2016•菏泽）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC及△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（　　）

A．36 B．12 C．6 D．3
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
9．（3分）（2014•白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

10．（3分）（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC及BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．

【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC==5，
∵OE⊥BC，
∴OE•BC=OB•OC，
∴OE==．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．

11．（3分）（2016秋•河南月考）一个由若干个小正方体组成的几何体，从左面看到的视图和从上面看到的视图如图所示，则该几何体最少需要　5　小正方体；最多可以有　7　小正方体．

【分析】（1）由俯视图可得最底层的几何体的个数，由左视图第二层正方形的个数可得第二层最少需要几块正方体，相加即可得到该几何体最少需要几块小正方体；
（2）由俯视图和左视图可得第二层最多需要几块小正方体，再加上最底层的正方体的个数即可得到最多可以有几块小正方体．
【解答】解：俯视图中有4个正方形，那么组合几何体的最底层有4个正方体，
（1）由左视图第二层有1个正方形可得组合几何体的第二层最少有1个正方体，
所以该几何体最少需要4+1=5块小正方体；
（2）俯视图从上边数第一行的第二层最多可有3个正方体，
所以该几何体最多需要4+3=7块小正方体．
故答案为：5，7．
【点评】此题考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图正方形的个数为组合几何体最底层的正方体的个数；左视图第二层正方形的个数为组合几何体第二层的正方体最少的个数．

12．（3分）（2016•锦州）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=　　．

【分析】由DE及BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF及CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF=，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案为：
【点评】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．

13．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．

【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=5，
∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=，
∴tan∠BPC=tan∠BAE=．
故答案为：．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

14．（3分）（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为　100　米．

【分析】过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠APC=75°，∠BPD=30°，
∴∠APB=75°，
∵∠BAP=∠APC=75°，
∴∠APB=∠BAP，
∴AB=PB=200m，
∵∠ABP=30°，
∴PE=PB=100m．
故答案为：100．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

15．（3分）（2016•宁波）如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为　6　．

【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．
【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，
∴，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=上，
∴，解得，或（舍去），

∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（2016•天门模拟）计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=•+（）2﹣+2×
=+﹣+
=1+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

17．（9分）（2016•黄冈）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；
（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．
【解答】解：
（1）画树状图如下：

由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；
（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．
【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数及总情况数之比．

18．（9分）（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．

【分析】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE及CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，
∴AE=60×=30m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，
∴BE=CE=30m，
∴AC=AE+CE=（30+30）m，
在Rt△ADC中，sinA=，
则CD=（30+30）×=（15+15）m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

19．（9分）（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；

（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．

20．（9分）（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．

【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．

21．（10分）（2014•朝阳）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y及x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
【分析】（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量及进价的关系就可以得出结论；
（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
当0＜x≤5时
y=30．
当5＜x≤30时，
y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
∴y=；

（2）当0＜x≤5时，
（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，
当5＜x≤30时，
[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．
答：该月需售出10辆汽车．
【点评】本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．

22．（10分）（2012•南昌模拟）给出函数．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣

1
2
3
4
…
y
…

…
②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：

③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第　一三　象限；
②函数图象的对称性是（　C　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，而是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
③在x＞0时，当x=　1　时，函数y有最　小　（大，小）值，且这个最值等于　2　；
在x＜0时，当x=　﹣1　时，函数y有最　大　（大，小）值，且这个最值等于　﹣2　；
④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增
大而增大；
（4）方程是否有实数解？说明理由．
【分析】（1）x在分母，那么x不能为0；
（2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形；
（3）①观察所得图象看在哪两个象限即可；
②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称；
③找到每个象限内图象的最低点或最高点所对应的自变量和函数值即可；
④应根据函数最低点自变量的取值判断相应变化；
（4）在同一平面直角坐标系中作出直线y=﹣2x+1，看有没有交点即可．
【解答】解：（1）自变量x的取值范围是x≠0；

（2）①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣

1
2
3
4
…
y
…
﹣

﹣2

2

…
②描点、③连线：

（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第一、三象限；
②两个函数图象关于原点对称，那么对称性为：不是轴对称图形，而是中心对称图形；故选C．
③在x＞0时，当x=1时，函数y有最小值，且这个最值等于2；
在x＜0时，当x=﹣1时，函数y有最大值，且这个最值等于﹣2；
④在第一象限内，当x＜1时，
y随着x增大而减小；
当x＞1时，y随x增大而增大．

（4）

方程没有实数解，
及y=﹣2x+1在同一直角坐标系中无交点．
【点评】用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；函数在某个范围内的最值，看最低点或最高点所对应的自变量及函数值；两个函数解析式组成的方程无解，那么这两个函数的图象在同一坐标系中没有交点．

23．（11分）（2016春•张家港市期末）如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数y=（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．
（1）求反比例函数y=的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式；
（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先利用三角形面积求出正方形边长，进而得出B点坐标，即可得出反比例函数解析式；
（2）表示出△BEF的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，﹣），经过点E、F1作直线求出图象及x轴交点坐标即可；
②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（﹣，4），经过点E1、F作直线求出图象及y轴交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形AOCB为正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
设点B坐标为（a，a），
∵S△BOC=8，
∴a2=8，
∴a=±4
又∵点B在第一象限
点B坐标为（4，4），
将点B（4，4）代入y=得，
k=16，
∴反比例函数解析式为y=；

（2）∵运动时间为t，
∴AE=t，BF=2t，
∵AB=4，∴BE=4﹣t，
∴S△BEF=（4﹣t）•2t
=﹣t2+4t；

（3）存在．
当t=时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，），
①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，﹣），经过点E、F1作直线，
由E（，4），F1（4，﹣）代入y=ax+b得，
，
解得：，
可得直线EF1的解析式是y=﹣2x+；
当y=0时，x=，
∴P点的坐标为（，0）
②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（﹣，4），经过点E1、F作直线，
由E1（﹣，4），F（4，）设解析式为：y=kx+c，
代入得：，
解得：，
可得直线E1F的解析式是：y=﹣x+，
当x=0时，y=，
∴P点的坐标为（0，），
∴P点的坐标分别为（，0）或（0，）．

【点评】此题主要考查了反比例函数综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式以及待定系数法求反比例函数解析式和二次函数最值问题等知识，利用轴对称得出对应点是解题关键．

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