河北省保定市望都县第三中学八年级数学-分式导学案.doc

河北省保定市望都县第三中学八年级数学 分式导学案
分式导学案
一、目标导航
1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感。
2.了解分式的概念，明确分式及整式的区别；掌握分式的基本性质，会化简分式。
3.在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。
二、知识梳理
1．分数的基本性质：一个分数的分子、分母同                        ，分数的值不变．由分数的基本性质可知，如果数c不为0，那么： ．
2．类比分数的基本性质，我们可以推想出分式的基本性质：
分式的分子和分母     （或   ）     的整式，分式的值不变．用式子表示就是 ， ．
3．利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的    ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的       ．
4．约分后，分式的分子及分母不再有    ，我们称这样的分式为        
三、学法导航
通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，加强事物之间的联系，提高数学运算能力．在已有数学经验的基础上，提高学数学的乐趣．
四、导学方式
教师指导下的学生有效合作学习
五、导学活动设计
引导学生结合下面活动认真自学课本内容，然后小组合作讨论，探究完成活动内容，之后分组展示，教师和学生共同互动，点拨质疑。

第一课时
活动1 读一读
看章首导图引出本章内容。
（章首图的主要意境是一个“代数式的庄园”，其中有整式，也有分式。在教学中，应利用章前图中提供的信息，让学生感受到分式及整式一样，也是表示现实情景数量关系的工具，是解决问题的一种模型。）

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
（1）        这一问题中有哪些等量关系？
（2）        如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；
根据题意，可得方程 ；
活动2 .探索交流，概括概念
（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷；原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月；

(通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意义，发展符号感。)
活动3 做一做：
1.正n边形的每个内角为 度；
答：

2.一箱苹果售价a元，箱子及苹果的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，则每千克苹果售价是多少元？

（进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义。）

活动4 议一议：
上面问题中出现了代数式，它们有什么共同特征？它们及整式有什么不同？
整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称

为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。
（这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式及分式的异同，从而获得分式的概念。教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背。）
活动5 .巩固应用，拓展研究
（1）当a=1,2时，求分式的值；
（2）当a取何值时，分式有意义？
答案：（1）
      （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。
由分母2a=0,得a=0，所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义。
（对及例1（2），可以引导学生从两方面理解：其一，及分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a本身是可以表示任何数的，但这里a作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）。）
活动6 .练习巩固，促进迁移
（1）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？

（2）分别求出使下列式子有意义的x的值。

（3）当x取何时，下列分式的值为零。

活动7 .回顾联系，形成结构
想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

第二课时

活动1. 创设情景，导出问题

引导学生独立思考、大胆质疑：为什么可以类比？因为字母可以表示任何的数。
活动2.    探索交流，概括概念
讨论后得出结论

分式的基本性质：分式的分子及分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
注意：在分式有意义的情况下，
（本题实际隐含了m≠0，n≠0的条件，故成立）。
活动3. 巩固应用，拓展研究

（本例承上启下。一方面它是分式基本性质的应用，另一方面由此例引出分式的约分。教学时注意引导学生找出分子及分母的公因式。）
，即分子、分母同时约去了整式ab；，即分子、分母同时约去了整式x-1。
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
活动4 练习：
化简下列分式：

注意在约分训练时，应使学生明确如下几点：①对于一个分式来说，约分就是要把分子分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；②约分的关键是确定分式的分子分母的公因式，其思考过程及分解因式中提取公因式的思考过程相似；③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。
活动5 议一议：

在化简时，小颖和小明出现了分歧。

你对他们两人的做法有河看法？及同伴交流。
（约分不彻底是学生容易出现的问题。教学时要根据学生出现的具体问题引导学生进行交流。）
在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
活动6 .练习巩固，促进迁移
1.学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买笔或日记本，可买多少？
答案：设钢笔每支x元，日记本每本y元，则60(x+2y)=50(x+3y),则x=3y，于是，这笔钱全用于买钢笔，可买
这笔钱全用于买日记本，可买
2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？

答案：（1）由已知分式中隐含着a≠0的条件，所以可以用a分别乘以分式的分子及分母，分式的值不变，固（1）是正确的。
（2）∵字母c可取任意数，当然包括零，当c=0时，分子、分母都乘以c，就会使分式没有意义，所以（2）只有在c≠0时才是正确的。
3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。

  4.不改变分式的值，把下列各式的分子及分母中的各项系数化为整数。

    5.不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项式按x的降幂排列。

       解法一： 由 可知x≠0，y≠0，故在等式两边同乘以xy得x+y=5xy。
           故 （∵xy≠0，∴分子、分母同除以xy）
    解法二：∵xy≠0，将所求分式的分子分母除以xy。
活动7 .回顾联系，形成结构
想一想：分式化简应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

3.2 分式的乘除法
一、目标导航
1.      经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情景说明其合理性。
2.      会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力。
3.      能解决一些及分式有关的简单的实际问题。
二、导学重难点
重点：分式的乘除运算法则，进行简单分式的乘除运算。
难点：解决一些及分式有关的简单的实际问题。
三、导学方式
教师指导下的学生有效合作学习
四、导学活动设计
引导学生结合下面活动认真自学课本内容，然后小组合作讨论，探究完成活动内容，之后分组展示，教师和学生共同互动，点拨质疑。
活动一：看一看
观察下列运算：

（让学生全面参及、独立思考，并让他们说说自己是怎样想的，为什么可以这样想，等等。调动学生的学习积极性。）
活动二：归纳总结
    概括：及分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再及被除式相乘。
经观察、类比不难发现
（在广泛交流的基础上，由学生自己总结出分式的乘除法法则，并用数学的符号语言加以表示。）
活动三：练一练
计算下列各题：

    （这是一个纯运算题目，应引导学生理解每一步的算理。加强学生的逻辑推理能力。）
2 、通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d，已知球的体积公式为 （其中R为球的半径，）那么
（1）   西瓜瓤及整个西瓜的体积各是多少？
（2）   西瓜瓤及整个西瓜的体积的比是多少？
（3）   买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
答案：根据球形的体积公式可知：
      （1）西瓜瓤的体积，整个西瓜的体积
（2）；
（3）根据（2）可知买大西瓜合算。（第3小题的问题目的在于引导学生从不同角度考虑问题，结论当然也会各不相同。学生的说法只要友道理就应予以肯定和鼓励。）
（通过实例进一步丰富分式乘除运算的背景，增强学生的代数推理能力及应用意识。）
4.练习巩固，促进迁移
1.约分： 

（此题改编自励耘精品系列丛书《初中期末复习精讲精练》北师大版八年级（下）P13第5题）

        2.下列分式
最简分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：选B
3. 计算：

        4. 先化简，再求值。

活动四：想一想
分式的乘除法的法则是什么？在做分式的乘除法时应注意些什么？
（过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

13 / 13