数学分析第六章微分中值定理及其应用.doc

数学分析第六章微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）

§ 1中值定理 （ 3时 ）
一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数及函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：
=.若能去掉导数定义中的极限符号,即,则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线及切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.
二 微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.
2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .
用分析方法引进辅助函数, 证明定理.
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.
系1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)
系2 函数和在区间I上可导且
系3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在 , 则右导数也存在, 且有(证)
但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数

虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).
Th3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域 内连续, 在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且 ( 证 )
由该定理可见, 若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时, 导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
3. Cauchy中值定理:
Th 4 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又 则在内至少存在一点 使得
.
证 分析引出辅助函数 . 验证在上满足Rolle定理的条件,

必有, 因为否则就有.这及条件“和在内不同时为零”
矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.

Ex [1]P163 1—4；

三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 )
1. 证明中值点的存在性:
例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得
.
证 在Cauchy中值定理中取.
例2 设函数在区间上连续, 在内可导, 且有.试证明: .
2. 证明恒等式: 原理.
例3 证明: 对, 有 .
例4 设函数和可导且又 则 .(证明 . )
例5 设对,有 ,其中是正常数.则函数是常值函数. (证明 ).
3. 证明不等式: 原理.
例6 证明不等式: 时, .
例7 证明不等式: 对，有.
4. 证明方程根的存在性:
例8 证明方程 在内有实根.
例9 证明方程 在内有实根.
四 单调函数 （结合几何直观建立）
1 可导函数单调的充要条件
Th 5设函数在区间内可导. 则在内↗(或↘) 在内
( 或 ).
例10 设.试讨论函数的单调区间.
解:⑴确定定义域. 函数的定义域为.
⑵求导数并分解因式.
⑶确定导数为0的点和不存在的点.令,得
⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表

(-1,1)

－
0

2 可导函数严格单调的充要条件
Th6设函数在区间内可导. 则在内↗↗( 或↘↘) ⅰ> 对 有 ( 或; ⅱ> 在内任子区间上
3 可导函数严格单调的充分条件
推论 见P124
例11 证明不等式

Ex [1]P124—125 1—7.

§2 不定式的极限 ( 2时 )
一. 型:
Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.
例1
例2 .
例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )
例4 . ( Hospital法则失效的例 )
二 型:
Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 )
例5 .
例6 .
注: 关于当时的阶.
例7 . ( Hospital法则失效的例 )
三. 其他待定型: .前四个是幂指型的.
例8
例9.
例10.
例11.
例12.
例13.
例14设 且 求
解
.
Ex [1]P132—133 1—5.

§3 Taylor公式 ( 3时 )
一. 问题和任务:
用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.
二. Taylor( 1685—1731 )多项式:
分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式
定义 (Taylor 多项式 及Maclaurin多项式)
例1 求函数在点的Taylor 多项式.
三. Taylor公式和误差估计:
称 为余项. 称给出的定量或定性描述的式
为函数的Taylor公式.
1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理:
Th 1 设函数满足条件:
ⅰ> 在闭区间上有直到阶连续导数;
ⅱ> 在开区间内有阶导数.
则对 使

.
证 [1]P138—139.
称这种形式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公
式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为
.
时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为
.
2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项:
Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则
,
.
证 设, . 应用Hospital法则次,并注意到存在, 就有
=
.
称为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).
四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:
1. 直接展开:
例2 求 的Maclaurin公式.
解 .
例3 求 的Maclaurin公式.
解 ,
.
例4 求函数的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解 .
.
例5 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式.
2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.
例6 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解 ,
.
例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解 ,
注意,
.
例8 先把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开式, 把函数在点展开成具Peano型余项的Taylor公式.
解 .

=+
例9 把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并及的相应展开式进行比较.
解
;
.
而 .
五. Taylor公式应用举例:
1. 证明是无理数:
例10 证明是无理数.
证 把展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有
.
反设是有理数, 即和为整数), 就有 整数 + .
对也是整数. 于是, 整数 = 整数―整数 = 整数.但由 因而当 时，不可能是整数. 矛盾.
2. 计算函数的近似值:
例11 求精确到的近似值.
解 .
注意到 有 . 为使,
只要取. 现取, 即得数的精确到的近似值为
.
3. 利用Taylor公式求极限: 原理:
例12 求极限 .
解 ,
;

.
4． 证明不等式： 原理.
例13 证明: 时, 有不等式 .
Ex [1]P141 1—3.
§4 函数的极值及最大（小）值（ 4时 ）
一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.
1. 可微极值点的必要条件:
Th1 Fermat定理(取极值的必要条件).
函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.
2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）
Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则
ⅰ> 在内 在内时, 为的一个极小值点;
ⅱ> 在内 在内时, 为的一个极大值点;
ⅲ> 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点.
或列表为

－

不存在

极小值点

－
不存在

极大值点

－

－
不存在

非极值点

不存在

非极值点

Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点为函数的驻点且存在.则
ⅰ> 当时, 为的一个极大值点;
ⅱ> 当时, 为的一个极小值点.
证法一
当时, 在点的某空心邻域内及异号,……
证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.
Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设,而.则
ⅰ> 为奇数时, 不是极值点;
ⅱ> 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.
例1 求函数的极值.
例2 求函数的极值.
例3 求函数的极值.
注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数它在处取极小值,但因.所以无法用Th 4对它作出判别.
二 函数的最大值及最小值:
⑴设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 则
=;
.
⑵函数最值的几个特例:
ⅰ> 单调函数的最值:
ⅱ> 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点.
ⅲ> 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.
ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.
例4 求函数在闭区间上的最大值及最小值.
B
⑶最值应用问题:
例5 、两村距输电线(直线A
1.5km
)
分别为 和（如图），1km

长. 现两村合用一台
变压器供电. 问变压器设在何
处,输电线总长最小.D

E
C

解 设如图，并设输电线总长为.则有

,
,
解得 和 ( 舍去 ). 答： ……
三 利用导数证明不等式:
我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用
导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 ). 本段仅介绍利用单调性
或极值证明不等式的简单原理.
1. 利用单调性证明不等式:
原理: 若↗, 则对, 有不等式.
例5证明: 对任意实数和, 成立不等式

证 取在内↗↗.
于是, 由 , 就有 , 即
.
2. 不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,
且; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)
例6 证明: 时, .
例7 证明: 时, .
3. 利用极值证明不等式:
例8 证明: 时, .
Ex [1]P146—147 1—9.

§5 函数的凸性及拐点（ 2时 ）
一． 凸性的定义及判定：
1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向及上升方向的区别.
定义 见书P146
凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线及弦的位置关系;曲线及切线的位置关系.
引理(弦及弦斜率之间的关系)
2． 利用一阶导数判断曲线的凸向
Th1 (凸的等价描述) 见书P146
例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)
3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:
Th2 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内
⑴ 在内严格上凸;
⑵ 在内严格下凸.
证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点
展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

.
其中和在及之间. 注意到 , 就有
, 于是
若有 上式中, 即严格上凸.
若有 上式中, 即严格下凸.
证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有↗↗, 不妨设,并设 ,分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有
,
.
有 又由 ，
<, ， 即
， 严格下凸.
可类证的情况.
例2 讨论函数的凸性区间.
例3 若函数为定义在开区间内的可导函数,则为的极值点的
充要条件是为的稳定点，即
4． 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.
二. 曲线的拐点: 拐点的定义.
Th3 (拐点的必要条件)
Th4 (拐点的充分条件)

－

不存在

拐点

－
不存在

拐点

－

－
不存在

非拐点

不存在

非拐点

注:函数的凹凸性、拐点归结为其一阶导函数的增减性、极值点.
例4 讨论曲线的拐点.

－

极大值

拐点

三 Jensen不等式及其应用:
Jensen不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点 , 有Jensen不等式:
( 或,
且等号当且仅当时成立.
证 令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意 即得所证.
对具体的函数套用Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.
例2 证明: 对 有不等式 .
例3 证明均值不等式: 对, 有均值不等式
.
证 先证不等式.
取. 在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有
.
由↗↗ .
对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.
例4 证明: 对, 有不等式
. ( 平方根平均值 )
例5设，证明 .
解 取, 应用Jensen不等式.
例6 在⊿中, 求证 .
解 考虑函数在
区间内凹, 由Jensen不等式, 有
.
.
例7 已知. 求证
.
解 考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有

.
.
例8 已知 求证 . ( 留为作业 )
(解 函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有

. )
Ex [1]P153 1—5.

§6 函数图象的描绘（ 2时 ）
微分作图的步骤:
⑴确定定义域.
⑵确定奇偶性、周期性.
⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点.
⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.
⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点.
⑹确定渐近线.
⑺适当补充一些点,如及坐标轴的交点.
⑻综合以上讨论作图.
例1 描绘函数的图象.
例2 描绘函数(其中为常数)的图象.
Ex [1]P155 (1)—(8).

60 / 18