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高中理科数学知识点
一.集合及常用逻辑用语
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．四种命题的相互关系

2．全称量词及存在量词
全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)；
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．
二、活用定理及结论
1．运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.
3．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．
[易错易混想一想]
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图像上的点集．
2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[保温训练手不凉]
1．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|logx4＝2}，则A∪B等于(　　)
A．{－2,1,2}　　　B．{1,2} C．{2} D．{－2,2}
2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题p：m>7，命题q：f(x)＝x2＋mx＋9(m∈R)有零点，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1,0} D．{0,1,2}
5．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝________.
6.下面四个命题：
①函数y＝loga(x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图像必过定点(0,1)；
②已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p：∃x∈R，sin x≤1；
③过点(－1,2)且及直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y－1＝0；
④在区间(－2,2]上随机抽取一个数x，则ex>1的概率为.
其中所有正确命题的序号是________．
答案：①③
二.函数及导数
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
2．指数及对数式的运算公式
am·an＝am＋n；(am)n＝am n；loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
3．指数函数及对数函数的性质
解析式
y＝ax(a＞0且a≠1)
y＝logax(a＞0且a≠1)
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
图像

关于直线y＝x对称
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数

4．导数公式及运算法则
(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；
(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；
(sin x)′＝cos x；
(cos x)′＝－sin x；
(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝.
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
5．导数及极值、最值
(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值及其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值及其端点值中的“最小值”．
二、活用定理及结论
1．抽象函数的周期性及对称性
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
②设f(x)是R上的偶函数，且图像关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．
③设f(x)是R上的奇函数，且图像关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图像的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图像关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝对称．
2．函数图像平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图像(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图像(b为常数)．
3．函数图像伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图像．
(2)把y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图像．
4．确定函数零点的三种常用方法
(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．
(2)零点定理法．根据连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．
(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
[易错易混想一想]
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数及底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图像及x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图像上，导致某些求导数的问题不能正确解出．
8．考生易混淆函数的极值及最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
[保温训练手不凉]
1．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝　　　　B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
2．直线y＝kx＋b及曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为(　　)
A．－3 B．9 C．－15 D．－7
3．若函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃b∈R，f(x)为奇函数 D．∃b∈R，f(x)为偶函数
4．函数f(x)＝的所有零点的和等于(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．已知a＝，b＝2，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
6．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像是(　　)

8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1及仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2及仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1、y2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处
9．(2013·荆州市质检)设函数f(x)在R上可导，其导函数是f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　)

10．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝log2(1－x)(x≤－1)的值域为N，则∁RM∩N＝________.
11．已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中y＝g(x)为指数函数，且其图像过点(2,9)，则函数y＝f(x)的解析式为________．
12．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A(A为f(x)的定义域)且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
答案：②③
三.不等式
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；
(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；
(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.
(2)≥0⇔≤0⇔
(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
二、活用定理及结论
1．常用五个重要不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(3)≥(a>0，b>0)．
(4)ab≤2(a，b∈R)．
(5) ≥≥(a>0，b>0)．
2．可行域的确定
“线定界，点定域”，即先画出及不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．
3．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
[易错易混想一想]
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)及点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．
[保温训练手不凉]
1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(　　)
A．a2>－a3>－a　　B．－a>a2>－a3 C．－a3>a2>－a D．a2>－a>－a3
2．直线2x＋y－10＝0及不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是(　　)
A．20 B．150 C．75 D．15
4．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)
A．3 B．4 C．3 D．4

5．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈－2，－时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
6．不等式－x≤1的解集是________．
7．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值为________．答案：4
8．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是________．答案：[1,19)

四．三角函数及平面向量
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)商数关系：＝tan α(α≠kπ＋，k∈Z)；
(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
2．三角函数的诱导公式
诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k·±α(k∈Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．
3．三种函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像

单调性
在(k∈Z)上单调递增；在2kπ(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；
对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)

4．三角恒等变换的主要公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝；
sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.
5．平面向量的有关运算
(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.
两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则||＝
.
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a及b的夹角，
则cos θ＝＝ .
二、活用定理及结论
1．三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
2．正、余弦定理
(1)正弦定理
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
注：R是三角形的外接圆半径．
(2)余弦定理
①cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
②b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
3．三点共线的判定
三个点A，B，C共线⇔，共线；向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
[易错易混想一想]
1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x＝2kπ－，k∈，也可以表示为x＝2kπ＋，k∈.
2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．
3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性．
4．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以惟一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0及任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0及任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0及任意非零向量垂直．
8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c及a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c及c平行，而a·(b·c)及a平行．
9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角及向量的数量积大于0不等价．
[保温训练手不凉]
1．已知cos 2α＝，则sin2α＝(　　)
A.　　　　　B. C. D.
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
5．若函数f(x)＝1－2sin2＋sin，则f(x)图像的一个对称中心的坐标为(　　)
A. B. C. D.
6．若函数y＝tan(ω>0)的图像向右平移个单位后，及函数y＝tan的图像重合，则ω的最小值为(　　)
A. B. C. D.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cos Acos C＝(　　)
A. B. C．－ D．－
8．非零向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，若a及b共线，则tan＝________.
9．若3cos ＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是________．
10．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a及a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
五．数__列
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
等差数列、等比数列

等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝
(2)q＝1，Sn＝na1

二、活用定理及结论
1．等差等比数列{an}的常用性质

等差数列
等比数列
性质
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
(2)an＝am＋(n－m)d
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
(2)an＝amqn－m
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)

2．判断等差数列的常用方法
(1)定义法：
an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(2)通项公式法：
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)中项公式法：
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式法：
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
3．判断等比数列的三种常用方法
(1)定义法：
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)中项公式法：
a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
[易错易混想一想]
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易混淆几何平均数及等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an)及{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解．
4．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
5．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n的取值范围，混淆数列的单调性及函数的单调性．如数列{an}的通项公式an＝n＋，求最小值，既要考虑函数f(x)＝x＋(x>0)的单调性，又要注意n的取值限制条件．
8．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．
[保温训练手不凉]
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为(　　)
A．12　　　　　B．11 C．10 D．9
2．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4及2a7的等差中项为，则S5＝(　　)
A．35 B．33 C．31 D．29
4．记Sn是等差数列{an}的前n项的和，Tn是等比数列{bn}的前n项的积，设等差数列{an}的公差d≠0，若对小于2 012的正整数n，都有Sn＝S2 012－n，则推导出a1 006＋a1 007＝0，设等比数列{bn}的公比q≠1，若对于小于24的正整数n，都有Tn＝T24－n，则(　　)
A．b11b12＝1 B．b12b13＝1 C．b11＋b12＝1 D．b12＋b13＝1
5．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝________.
6．(2013·合肥质检)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a2 014＝________.
7．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．
8．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
…　…　…　…　…　…
根据上述排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
六．立体几何
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．简单几何体的表面积和体积
(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．
(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c及c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，
S圆锥侧＝πrl(同上)，
S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′、r分别为上、下底的半径，l为母线)．
(5)体积公式
V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，
V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，
V台＝(S＋＋S′)h(S、S′为上、下底面面积，h为高)．
(6)球的表面积和体积
S球＝4πR2，V球＝πR3.
2．“向量法”求解“空间角”的公式
(1)向量法求异面直线所成的角
若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求线面所成的角
求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
(3)向量法求二面角
求出二面角α­l­β的两个半平面α及β的法向量n1，n2，若二面角α­l­β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α­l­β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.
二、活用定理及结论
1．把握两个规则
(1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度及正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度及俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧一样高．
(2)画直观图的规则
画直观图时，及坐标轴平行的线段仍平行，及x轴、z轴平行的线段长度不变，及y轴平行的线段长度为原来的一半．
2．线、面位置关系判定的六种方法
(1)线面平行　⇒a∥α，⇒a∥α，
⇒a∥α.
(2)线线平行　⇒a∥b，⇒a∥b，
⇒a∥b，⇒c∥b.
(3)面面平行　⇒α∥β，⇒α∥β，
⇒α∥γ.
(4)线线垂直　⇒a⊥b.
(5)线面垂直　⇒l⊥α，⇒a⊥β，
⇒a⊥β，⇒b⊥α.
(6)面面垂直　⇒α⊥β，⇒α⊥β.
[易错易混想一想]
1．混淆“点A在直线a上”及“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.
2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
3．易混淆几何体的表面积及侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积及所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
4．不清楚空间线面平行及垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
5．注意图形的翻折及展开前后变及不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变及不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系及数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置及数量关系．
6．几种角的范围
两条异面直线所成的角0°<α≤90°
直线及平面所成的角0°≤α≤90°
斜线及平面所成的角0°<α<90°
二面角0°≤α≤180°
两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°
直线的倾斜角0°≤α≤180°
两个向量的夹角0°≤α≤180°
锐角0°<α<90°
7．空间向量求角时易忽视向量的夹角及所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
[保温训练手不凉]
1．已知直线a，b和平面α满足a⊥b，a∥α，则直线b及平面α的位置关系是(　　)
A．b⊂α　　　　　　B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．以上都不对
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)

A.π B.π C.π D．12π
3．已知两相异直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是(　　)
A．a∥α，b∥α B．a∥α，b∥β，α∥β
C．a⊥α，b⊥β，α∥β D．α⊥β，a⊥α，b∥β
4．已知空间中有不共线的三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB及CD的位置关系是(　　)
A．AB∥CD B．AB及CD异面 C．AB及CD相交
D．AB∥CD或AB及CD异面或AB及CD相交
5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1及平面AB1C1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
6．已知直线m，n及平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②m∥α，n⊥α，则n⊥m；③m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P­ABC的体积等于________．
8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上．则这个球的表面积是________．

9．设α和β为两个不重合的平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l及α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l及α垂直的充分必要条件是l及α内的两条直线垂直．
其中真命题的序号是________．
答案：(1)(2)
10．如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.

七．解析几何
[基础知识看一看]
一、牢记概念及公式
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
4．圆锥曲线定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形

几何性质
轴
长轴长2a，
短轴长2b
实轴长2a，
虚轴长2b

离心率
e＝＝
(0<e<1)
e＝＝
(e>1)
e＝1
渐近线

y＝±x

二、活用定理及结论
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0及直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线及圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线及圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离及半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．
3．圆及圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；
(2)当|O1O2|＝