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人教版八年级数学竞赛题

八年级数学竞赛题

班级: 姓名:
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．
x≥3
B．
x≤3
C．
x＞3
D．
x＜3
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．
5﹣1=
B．
x2•x3=x6
C．
（a+b）2=a2+b2
D．

=
4．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，
OP=10，则PE的长为（　　）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，
以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断（　　）
A甲正确，乙错误 B乙正确，甲错误
C甲、乙均正确 D甲、乙均错误

8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P．有下面四种说法：①AP=5；②△ APC是等边三角形；
③△ APD≌ △ CPE；④四边形ACED为等腰梯形，且它的面积为25.6．其中正确的有（　　）个．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
　A．1个 B 2个 C 3个 D 4个

二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
9．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式　_________　．

10．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　_________　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）

第12题
第11题
第10题

第13题

11．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是　_________　．
12．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是　_________　．
13．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形及第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形及第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和Sn=　_________　．
14如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是　_________　．

15．如图，在△ABC中，∠ ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　_________　．

三．解答题
第15题
第14题
16．计算：（2﹣）2012•（2+）2013﹣2﹣（）0．

17．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

18．先化简，再求值：，其中a=，b=

19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

20．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，
（1）求m的值，
（2）求这个函数的解析式．

21．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：
（1）楼高多少米？
（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

22．如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
（1）△ ABF≌ △ DEA；
（2）DF是∠ EDC的平分线．

23．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不及B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

参考答案及试题解析

一．选择题（共12小题）
1．（2013•盐城）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．
x≥3
B．
x≤3
C．
x＞3
D．
x＜3

考点：
二次根式有意义的条件．1082555
分析：
根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
解答：
解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选A．
点评：
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

2．（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
最简二次根式．1082555
专题：
计算题．
分析：
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解答：
解：A、=3，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；
故选：B．
点评：
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．

3．（2013•钦州）下列运算正确的是（　　）

A．
5﹣1=
B．
x2•x3=x6
C．
（a+b）2=a2+b2
D．
=

考点：
二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂．1082555
分析：
根据负整数指数幂、同底数幂的乘法、同类二次根式的合并及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可得出答案．
解答：
解：A、5﹣1=，原式计算正确，故本选项正确；
B、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、及不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点评：
本题考查了二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及完全平方公式，掌握各部分的运算法则是关键．

4．（2012•梧州）如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（　　）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
8

考点：
角平分线的性质；勾股定理．1082555
分析：
由PD⊥OA，OD=8，OP=10，利用勾股定理，即可求得PD的长，然后由角平分线的性质，可得PE=PD．
解答：
解：∵PD⊥OA，
∴∠PDO=90°，
∵OD=8，OP=10，
∴PD==6，
∵∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=6．
故选B．
点评：
此题考查了角平分线的性质及勾股定理．此题比较简单，注意角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
勾股定理的证明．1082555
分析：
根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．
解答：
解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
点评：
此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．

6．（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．

B．
5cm
C．

D．
7cm

考点：
平面展开-最短路径问题．1082555
分析：
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
解答：
解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP==5．
故选B．

点评：
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．

7．下列说法正确的有（　　）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．1082555
专题：
证明题．
分析：
两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形．
解答：
解：（1）两组对边相等的四边形是平行四边形，故（1）错误；
（2）两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故（2）错误；
（3）四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故（3）错误；
（4）四条边都相等的四边形是菱形，故（4）正确，所以正确的有1个，故选A．
点评：
考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．

8．（2013•资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A．
48
B．
60
C．
76
D．
80

考点：
勾股定理；正方形的性质．1082555
分析：
由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
解答：
解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
故选C．
点评：
本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．

9．（2013•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
正方形的性质；勾股定理．1082555
专题：
压轴题．
分析：
利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，所以可以求出DE，进而得到DG的长．
解答：
解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，
∴DM=AD=DC=1，
∴CM==，
∴ME=MC=，
∵ED=EM﹣DM=﹣1，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG=DE=﹣1．
故选D．
点评：
本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．

10．（2013•玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（　　）

A．
甲正确，乙错误
B．
乙正确，甲错误
C．
甲、乙均正确
D．
甲、乙均错误

考点：
菱形的判定．1082555
分析：
首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
解答：
解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．

点评：
此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

11．（2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，下列判断中，正确的是（　　）

A．
y1＞y2
B．
y1＜y2
C．
当x1＜x2时，y1＜y2
D．
当x1＜x2时，y1＞y2

考点：
一次函数图象上点的坐标特征．1082555
分析：
根据正比例函数图象的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小即可求解．
解答：
解：∵y=﹣x，k=﹣＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选D．
点评：
本题考查正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．

12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P．有下面四种说法：①AP=5；②△APC是等边三角形；③△APD≌△CPE；④四边形ACED为等腰梯形，且它的面积为25.6．其中正确的有（　　）个．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
翻折变换（折叠问题）．1082555
分析：
分别根据图形翻折变换前后图形对应相等，以及利用勾股定理全等三角形的判定分别分析即可．
解答：
解：①∵在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，矩形沿直线AC折叠，
∴∠BAC=∠CAE，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠PAC，
∴PC=PA，
假设PC=x，则PA=x，
∴DP=8﹣x，
∴AD2+DP2=AP2，
∴42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
∴①AP=5，故此选项正确；
②∵PC=PA，
∴△APC是等腰三角形，故此选项错误；
③∵CE=AD，∠EPC=∠DPA，
∠ADP=∠CEP，
∴△APD≌△CPE；故此选项正确；
④作EQ⊥AC，
∵可证△EAC≌△DAC，
∴两三角形面积相等，
∴DE∥AC，
∵AD=EC，
∴四边形ACED为等腰梯形，
∵PC=5，
∴DP=3，∵AP=5，∴PE=3，
∵EQ×AC=AE×EC，
∴EQ=，
∵△DPE∽△CPA，
∴=，
∴DE=，
∴梯形面积为：
××（+），
=25.6．
∴它的面积为25.6．故此选项正确；
其中正确的有3个．
故选：C．

点评：
此题主要考查了图形的翻折变换，根据等腰三角形的性质以及翻折变换前后对应相等情况是解题关键．

二．填空题（共6小题）
13．（2013•漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是　﹣　．

考点：
勾股定理；实数及数轴．1082555
专题：
压轴题．
分析：
在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
解答：
解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
点评：
本题考查了实数及数轴、勾股定理的综合运用．

14．（2013•营口）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形及第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形及第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和Sn=　　．

考点：
等腰直角三角形；正方形的性质．1082555
专题：
压轴题；规律型．
分析：
观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，再根据规律解题即可．
解答：
解：∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（）1=，
第3个正方形的边长为（）2=，
…，
第n个正方形的边长为（）n﹣1，
∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1=，
则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，
故第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=．
故答案为：．
点评：
此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的倍及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（）n﹣1是解题的关键．

15．（2013•潍坊）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　OA=OC　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）

考点：
菱形的判定．1082555
专题：
开放型．
分析：
可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
解答：
解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
点评：
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．

16．（2013•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　4π　．

考点：
正方形的性质；整式的混合运算．1082555
专题：
压轴题．
分析：
设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式计算即可得解．
解答：
解：设正方形EFGB的边长为a，则CE=4﹣a，AG=4+a，
阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
=+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a）
=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2
=4π．
故答案为：4π．
点评：
本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键．

17．（2013•钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式　y=x（答案不唯一）．　．

考点：
正比例函数的性质．1082555
分析：
先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
解答：
解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
故答案为：y=x（答案不唯一）．
点评：
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时函数的图象经过一、三象限．

18．（2013•宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　20　．

考点：
菱形的判定及性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．1082555
专题：
压轴题．
分析：
首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
解答：
解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案为：20．
点评：
本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．

三．解答题（共9小题）
19．（2013•济宁）计算：（2﹣）2012•（2+）2013﹣2﹣（）0．

考点：
二次根式的混合运算；零指数幂．1082555
分析：
根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算，分别进行计算，再把所得的结果合并即可．
解答：
解：（2﹣）2012•（2+）2013﹣2﹣（）0=[（2﹣）（2+）]2012•（2+）﹣﹣1
=2+﹣﹣1
=1．
点评：
此题考查了二次根式的混合运算，用到的知识点是零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算，关键是熟练掌握有关知识和公式．

20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定及性质．1082555
专题：
证明题．
分析：
通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．
解答：
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB及△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE=CF．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF．
∴四边形BECF是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定及性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

21．（2012•襄阳）先化简，再求值：，其中a=，b=．

考点：
分式的化简求值；二次根式的化简求值．1082555
专题：
计算题．
分析：
将原式第一项的分子利用平方差公式分解因式，分母提取a分解因式，第二项括号中的两项通分并利用同分母分式的加法运算法则计算，分子利用完全平方公式分解因式，第三项通分并利用同分母分式的加法法则计算，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，将a及b的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答：
解：÷（a+）•（+）
=֥
=••
=﹣，
当a=+，b=﹣时，
原式===1．
点评：
此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．

22．（2013•天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

考点：
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．1082555
专题：
压轴题．
分析：
利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
解答：
解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．

点评：
此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．

23．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，
（1）求m的值，
（2）求这个函数的解析式．

考点：
待定系数法求正比例函数解析式．1082555
分析：
（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，求得m值即可；
（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；
解答：
（1）解：∵点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，
∴将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，
即：1=（3m﹣1）×，
整理得：3m=3，
解得：m=1；
∴m的值为1；

（2）解：∵m的值为1；
∴代入y=（3m﹣1）x，即可求出，
y=（3×1﹣1）x=2x，
∴这个函数的解析式为：y=2x．
点评：
此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．

24．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问：
（1）楼高多少米？
（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

考点：
勾股定理的应用．1082555
专题：
应用题．
分析：
（1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．
解答：
解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，
∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，
∴AC=x米，BD=x米，
∴x+x=150﹣10，
解得x==70（﹣1）（米），
∴楼高70（﹣1）米．

（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，
∴我支持小华的观点，这楼不到20层．
点评：
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般．

25．（2012•茂名）如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定及性质；角平分线的性质．1082555
专题：
证明题．
分析：
（1）根据矩形性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠AFB，求出AF=AD，根据AAS证出即可；
（2）有全等推出DE=AB=DC，根据HL证△DEF≌△DCF，根据全等三角形的性质推出即可．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠DEA=∠B=90°，
∵AF=BC，
∴AF=AD，
在△DEA和△ABF中
∵，
∴△DEA≌△ABF（AAS）；

（2）证明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，
∴DE=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB，
∴DC=DE．
∵∠C=∠DEF=90°
∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）
∴∠EDF=∠CDF，
∴DF是∠EDC的平分线．
点评：
本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，

26．（2013•昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不及B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

考点：
全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质；菱形的性质．1082555
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；
（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．
解答：
（1）证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，
即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，
即AC=CD﹣CF．

点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．

备用题：
（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG=∠AGE．

考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．1082555
专题：
压轴题．
分析：
（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；
（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．
解答：
（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；

（2）证明：过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌