柯西积分公式.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（柯西基本定理）若,f(z),在单连通域,D,内解析，则,其中,C,为,D,内封闭曲线。,（复合闭路定理）若,f(z),在多连通域D内解析，在边界上连续则,复习,第1页,一、,柯西积分公式,定理,.(柯西积分公式),假如,f,(,z,)在区域,D,内处处解析,C,为,D,内任何一条正向简单闭曲线,它内部完全含于,D,z,0,为,C,内任一点,则,第2页,证,D,C,K,z,z,0,R,因为,f,(,z,)在,z,0,连续,任给 ,存在 ,当|,z,-,z,0,|时,|,f,(,z,)-,f,(,z,0,)|.设以,z,0,为中心,R,为半径圆周,K,:|,z,-,z,0,|=,R,全部在,C,内部,且,R,.,第3页,例1,解,第4页,例题2,解：,第5页,二、,解析函数高阶导数,一个解析函数不但有一阶导数,而且有各高阶导数,它值也可用函数在边界上值经过积分来表示.这一点和实变函数完全不一样.,第6页,定理,解析函数,f,(,z,)导数仍为解析函数,它,n,阶导数为:,其中,C,为在函数,f,(,z,)解析区域,D,内围绕,z,0,任何一条正向简单曲线,而且它内部全含于,D,.,证,设,z,0,为,D,内任意一点,先证,n,=1情形,即,所以就是要证,第7页,按柯西积分公式有,所以,第8页,现要证当,D,z,0时,I,0,而,f,(,z,)在,C,上连续,则有界,设界为,M,则在,C,上有|,f,(,z,)|,M,.,d,为,z,0,到,C,上各点最短距离,则取|,D,z,|适当地小使其满足|,D,z,|1.,解,1)函数 在,C,内,z,=1处不解析,但cos,p,z,在,C,内却是处处解析.,第11页,例2,若n为自然数，试证实：,证：,比较等式两边实部与虚部得,：,第12页,作业,习题六 1、,2、3、4,第13页,