样条函数插值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,回顾前面几节讲过的各种代数插值,它们有一个共同的弱点,那就是,:,它们都是相当,刚性,(stiff),的,.,也就是说,局部数据误差易向远处,传播、放大,.,一、样条函数的背景,8,样条函数插值,/*Spline Interpolation*/,以,Lagrange,插值,为例,设数据真值 被代之以含有误差 的,令,是基于精确数据的插值多项式,是基于近似数据的插值多项式,于是最终的插值误,差是,这表明结点,x,j,处的数据误差 通过插值基函数,放大和扩散,.,如果被插函数,有奇点,甚至只要,解析延拓到复平面,有,隐秘奇点,出现,则当 为高次多项式时,误,差放大和扩散还,将助长很可怕的,强振荡,!,展示,Runge,现象,的著名例子就清,楚地描述了这种,振荡,(,右图,).,Lagrangr Interpolation,相同数据3次样条插值与,Lagrangr,插值效果比较,Cubic Spline Interpolation,如果采用分段多项式插值,则由于插值基函数只是,局部活跃,结点上的,误差可以被控制在小的范围内,因而也带来了,内在的高度稳定性,.,这是分段插值的一大优势,!,许多实际问题,希望插值函数具有较高阶的整体光滑性,.,此时,高次,Hermite,插值,或,分段高次,Hermite,插值,可以利用,(,注意,:,分段高次,Lagrange,插值和,Newton,插值等是做不到的,在插值结点上,它们只能保证插值函数连续,).,于是,高次插值,不仅,增添了数据准备和计算的困难,也将,导致更大的误差,.,但高次,Hermite,插值在许多场合中看不中用!,提高,Hermite,插值多项式的次数就要,增加约束条件,给出插值结点处被插函数及其直到足,够高阶 导数之值,.,作为约束条件的,所有数据都是通过观测得到的,而,观测,总难免,有误差,.,数学里的,样条,(Spline,),一词来源于它的直观,几何 背景,：绘图员或板金工人常用弹性,木条,或,金属条,加,压铁,(,构成样条,!),来绘制或者放样成,光顺,曲线或者曲面,.,但它之所以成为数值分析的,标志性成果之一,并且在数学物理的广泛领域获得非常成功的应用,还在于它的明确的,物理背景,.,还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的,整体光滑性,还要求在某些结点处,转折灵活,.,例如若干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲,.,这就导致本节要讨论的,样条函数,(Spline),插值,.,(,k,次样条函数,),设 是区间,a,b,上的一个分划或分割，即,称,s,(,x,),为定义在区间,a,b,上关于分划 的一个,k,次,样条函数,如果,:,节点,x,i,处,S,的,k,阶导数间断,因而转折灵活,二、一般,K,次样条,(1),在每一区间,x,i,-1,x,i,上是次数不超过,k,的多项式,.,(2),在区间,a,b,上是,k,-1,次连续可微的,.,定义,1,为方便后面的讨论，将样条函数,s,(,x,),写成如下形式,k,次样条函数类记为,一般二次多项式不是严格意义下的二次样条,!,根据上述定义,0,次样条函数,s,(,x,),为,分段常数,即阶梯函数,它可表为,1,次样条函数,s,(,x,),为,分段线性函数,它可表为,问题的提法,：给定数据表,构造三次样条函数 满足插值条件,三、三次样条插值,并且满足,:,构造方法,：,应具有如下形式,连续条件,插值条件,因,s,(,x,),是分段,3,次多项式,故在每个区间,x,i,x,i,+1,上,都是,3,次多项式,从而,s,(,x,),共须,4,n,个独立条件确定,.,s,s,和,s,在,n,-1,个内结点连续,给出了,3,n,-3,个条件,插值条件给出了,n,+1,个条件,还差,2,个条件,有多种给法,.,最常见的给法是,:,(ii),（简支边界，导致,三弯矩关系式,M,关系式,）,特别地,M,0,=,M,n,=0,(,自然边界,三次自然样条,),(i),(,固支边界,导致,三转角关系式,m,关系式,).,注意：上述给出的,3,n,-3,个条件是问题本身隐含的，和共,n,+3,个独立条件须提供，故,n,+1,结点三次样插值问题只有,n,+3,个自由度,.(,请与分段三次,Hermite,插值,比较,!),因为,s,(,x,),在,x,i,x,i,+1,上是三次多项式，所以,s,(,x,),在,x,i,x,i,+1,上是一次多项式，故有,三次样条插值,M,关系式的构造,令,于是由,Taylor,展示在,x,i,x,i+,1,M,i,M,i+,1,s,(,x,),在,xi,xi,+1,上是三次多,项式,展开式余项为,0,一阶差商,令,因为,s,(,x,),连续得,解得,同理在,x,i,-1,x,i,上讨论得,一阶差商,记,则,即,两边同除以,得,第一类边界条件,令,i,=0,得,并令,i,=,n,得,在,同理由,即有,解得,M,i,(,i,=0,1,n,).,第二类边界条件,解得,M,i,(,i,=1,2,n-,1).,当,x,0,0.15,0.30,0.45,0.60,f,(,x,),1,0.97800,0.91743,0.83160,0.73529,已知函数,y,=,f,(,x,),的数表如下表所示,:,已知求满足边界条件 的三次样条函数,s,(x),并计算,s,(0.2),例,1,计算差商表,由于是等距离节点,4,3,2,1,15,.,0,1,=,=,-,=,-,i,i,i,i,x,x,h,2,1,2,1,1,1,1,=,+,=,=,+,=,+,+,+,i,i,i,i,i,i,i,i,h,h,h,h,h,h,l,m,由第二类边界条件得,解,解方程得,将,M,i,代入下式,08418,.,0,43716,.,0,13031,.,1,77757,.,1,04462,.,2,4,3,2,1,0,=,-,=,-,=,-,=,-,=,M,M,M,M,M,由于,故,得,小结,(1),样条相对于其它分段多项式插值的主要优点是它保证了较高阶的整体光滑性.实践中,曲率间断就须仔细打量才能察觉,三次样条能保证二阶导数连续,三阶导数仅在结点间断,如此的光滑通常是足够的.三阶导数在结点间断还带来了转折,灵活的特点,.,(2),样条插值计算是隐式的,需要形成并求解一个线性方程组,不如前面讲过的多项式插值计算简便,.,