同角三角函数的基本关系式-禚术桂-高密四中.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同角三角函数的基本关系式,知识复习,回顾三角函数的定义以及三角函数线,.,2,、我们把轴上的向量,分别叫做,的,余弦线、正弦线和正切线,.,在直角三角形,OMP,中由勾股定理很容易得到：,由正切函数定义很容易得到：,y,x,a,P(x,y,),O,A(1,0),M,同角三角函数的基本关系,平方关系,:,商数关系,:,同一个角 的正弦、,余弦的平方和等于,1,，商等于角 的正切,.,倒数关系：,注意：,1.,公式中的角,一定是同角,，否则等式可能不成立,.,如,sin,2,30+cos,2,601.,2.,同角不要拘泥于形式,，,6,等等都可以,.,如,sin,2,4+cos,2,4=1.,3.,商数关系,中注意限制条件,.,即,k,+,，,k,Z,.,5,、是 的简写形式，与 不同。,6,、公式可以变形使用，同时注意公式的正用、逆用。,4,、“同角”通常有二层含义,:,一是,”,角相同”,二是,”,任意,”,一个角,.,例,1,已知 ，并且,是第三象限角，求,的余弦和正切值,例,2,已知 ，求,sin,、,tan,的值,.,解：,cos,0,是第二或第三象限角,（,）当,是第二象限角时，,（,）当,是第三象限角时，,例,3,已知 ，且,是第二象限角，,求,sin,、,cos,的值,.,例,4.,已知,sin,cos,=,180,270.,求,tan,的值。,知识探究：,基本变形,思考,1,：对于平方关系,可作哪些变形？,思考,2,：,对于商数关系 可作哪些变形？,思考,3,：,结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？,小结：,1.,同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点,.,2.,利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论,3.,化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高,.,问题:,是否存在同时满足下列三个条件的角,?,不存在,归纳探索,基本关系,y,x,O,同角公式,典型例题,类型一,：求值,例,1,（,1,）,已知,，,并且,是第二象限角，求,（,2,）已知,，求,又,是第二象限,角，,，即有,从而,解：（,1,）,（,2,）,又,在,第二或三象限角。,当,在第二象限时，即有,，从而,当,在第四象限时，即有,，从而,P19,例,6,已知，求 的值。,解：,（,1,）当 时,（,2,）当 时,分类讨论,练习,P20,练习,1,P20,练习,2,分类讨论,1.,已知,求 的值,.,2.,已知,求 的值,.,例,2,已知,为非零实数，用,表示,解,：,，即有,又,为非零实数，,为,象限角。,当,在第一、四象限时，即有,，从而,当,在第二、三象限时，即有,，从而,已知，求 的值。,解：,（,1,）当 时,不妨设,x=4,，,y=3,（,2,）当 时,不妨设,x=-4,，,y=-3,分类讨论,变式训练,：,练习,P20,练习,2,分类讨论,思考：例,6,能否用这种方法？,同角关系式的应用 （,1,）求值,P22 B3,解：分子分母同时除以,cos,得：,练习,注意：“,1”,的灵活代换，特别是关于,sina,、,cosa,齐次式,例,3,化简,解：原式,例,4,化简,解：原式,同角关系式的应用 （,2,）化简,例,求证,思考,恒等式证明常用方法,?,基本思路,:,由繁到简,可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。,p19,例,5,求证：,证明：,因此,作差法,同角关系式的应用 （,3,）证明恒等式,比较法,证法二：,因为,因此,由原题知：,恒等变形的条件,分析法,证法三：,由原题知：,则,原式左边,=,=,右边,因此,恒等变形的条件,练习,2.,求证,1.,化简,例,6,已知,，求,解：由,等式两边平方：,（*），即,可看作方程,的两个根，解得,又,，,又由（*）式知,因此，,构造方程组的方法,补充练习,a,a,a,a,a,a,a,a,cos,sin,sin,cos,cos,sin,),sin,(,cos,tanx,x,tan,x,sin,x,cos,x,cos,x,sin,:,.,+,-,+,=,+,+,-,+,-,=,-,-,1,1,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,2,）,（,）,（,证明,关于,sina,cosa,的齐次式，求值时分子、分母同除以,cosa,的最高次，方便利用,tana,值代入计算。,=,+,-,=,+,-,=,-,-,=,1,3,2,3,5,3,4,2,7,5,3,2,1,2,3,2,2,2,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,cos,sin,cos,cos,cos,sin,sin,),(,cos,sin,cos,sin,tan,.,）,（,）,（,则,已知,要注意,sina+cosa,sinacosa,sina-cosa,三个量之间有联系：,(sina+cosa),2,=1+2sinacosa;,(sina+cosa),2,=1+2sinacosa,知“一”求“二”,注意分类讨论是以cosa的正负为依据进行的。,小结：,1.,同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点,.,2.,利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论,3.,化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高,.,注意：,1,同角三角函数基本关系式及成立的条件；,2,根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；,3,在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先,用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。,4,运用同角三角函数关系式化简、证明。常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。,三角函数的定义,有何联系？,P21,习题,A,组 第,10,、,11,、,12,题,P22,习题,B,组 第,2,、,3,题,课后作业：,