南京师范大学-高等数学-期末试卷20套.doc

南京师范大学
《高等数学》(下册)期末考试试卷1(6学时)
学号 姓名 班级 成绩
一、填空题（8=32'）：
1、为单位向量，且满足则 .
2、曲线绕轴旋转所得的曲面方程为 ．
3、设函数，则= ．
4、球面在点处的切平面方程为 ．
5、设二次积分，则交换积分次序后得I= ．
6、闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上有一阶连续偏导数，则有（格林公式）： .
7、微分方程的特解可设为 ．
8、微分方程的通解为 ．
二、选择题（＝15'）：
1、设积分区域由坐标面和平面围成，则三重积分（　　　）．
（A）6； （B）12；
（C）18； （D）36．
2、微分方程的阶数是 （ ）．
（A）1； （B）2；　　 （C）3； （D）4．
3、设有平面和直线,则与L的夹角为（ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4、二元函数在点处满足关系　　　　　　　　　　（ ）．
（A）可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续；
（B）可微可导连续；
（C）可微可导，且可微连续，但可导不一定连续；
（D）可导连续，但可导不一定可微．
5、设无穷级数绝对收敛，则 （ ）．
（A）； （B）； （C）； （D）．
三、计算题（=30'）：
1、设函数可微，，求，；

2、已知方程确定函数,求；

3、求幂级数的收敛域；

4、将函数展开为的幂级数；

5、求微分方程的通解；

四、（）求函数的极值．

五、（）计算，其中D是由直线所围成的闭区域．

六、（）求旋转抛物面和锥面围成的立体的体积．

期末考试试卷2(6学时)
一、填空题（7=2）：
1、已知直线过点,,则直线方程为 ．
2、函数的定义域是 ．
3、设函数,则全微分 ．
4、在内，幂级数的和函数为 ．
5、幂级数的收敛半径 ．
6、设C是在第一象限内的圆：，（），则 ．
7、微分方程的通解为 ．
二、选择题（＝）：
1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是 （　　　）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2、设，，则在点处函数（ ）．
（A）连续； （B）一定取得极值；
（C）可能取得极值； （D）全微分为零．
3、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （　　　）.
（A）； （B）； （C）； （D）．
4、设积分区域，则二重积分 （ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
5、微分方程的一个特解为 （ ）．
（A）； （B）； （C）； （D）．
6、D 是点为顶点的三角形区域，在D上连续，则二重积分 （ ）.
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题（=24'）：
1、已知，求函数在点处的偏导数；

2、设，具有二阶导数，求；

3、判断级数的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；

4、将函数展开为的幂级数；

四、（）求微分方程的通解．

五、（）某厂要用铁板作成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？

六、计算下列积分：
1、（）计算，其中D是由抛物线和直线所围成的闭区域．

2、（）设积分区域由上半球面及平面所围成，求三重积分．

期末考试试卷3(6学时)
一、填空题（8=）：
1、设，，则与、同时垂直的单位向量为____________．
2、面上的抛物线绕轴旋转所得旋转曲面方程为 ．
3、若在区域上恒等于1，则 ．
4、设，则其驻点为 ．
5、级数收敛，则的取值为 ．
6、设而则全导数 .
7、微分方程的通解为 ．
8、设函数，则= ．
二、选择题（＝15'）：
1、过点（2，-8，3）且垂直于平面的直线方程是（　　　）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2、若函数由方程所确定，则 （　　　）．
（A）； （B）； （C）； （D）．
3、二元函数在处的偏导数 和存在是函数在该点全微分存在的 （　　　）．
（A）充分条件； （B）必要条件；
（C）充要条件； （D）既非充分也非必要条件．
4、积分更换积分次序后为 （ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
5、设（），而无穷级数收敛，则下列说法不正确的是 （　　　）．
（A）； （B）存在；　　
（C）； （D）为单调数列．

三、计算题（3=）：
1、曲面上哪一点的切平面平行于平面，并写出切平面方程；

2、讨论级数的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.

3、将函数展开为的幂级数；

四、（）求微分方程的通解．

五、（）在所有对角线为的长方体中，求最大体积的长方体．

六、（）计算，其中D是由直线，及曲线所围成的闭区域．

七、（）计算，其中D是由圆及直线所围成的第一象限部分。

八、（）计算曲线积分,其中积分路线C是由点到点的直线段。

期末考试试卷4(6学时)
一、填空题（6=）：
1、过点并且平行于面的平面方程为 ．
2、平面和的夹角为 .
3、设，其中为可微函数，则 ．
4、交换积分次序： ．
5、设为常数，若级数收敛，则 ．
6、微分方程的通解为 ．
二、选择题（＝15'）：
1、设和是向量，则 （　　　）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2、在内，幂级数的和函数为 （ ）．
（A）； （B）；　　（C）； （D）．
3、二元函数的极小值点是 （ ）.
（A）； （B）； （C）； （D）．
4、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为 （ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
5、设是沿椭圆：的逆时针路径，则线积分 （ ）．
（A）0； （B）；
（C）； （D）．
三、计算题（=36'）：
1、求过点（2，0，-1）且与直线垂直的平面方程；

2、设，求，；

3、设，求；

4、讨论级数的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛；

5、求幂级数的收敛半径和收敛区间；

6、求微分方程的通解．

四、设某工厂生产某产品的数量与所用的两种原料A，B的数量（吨）之间的关系式。现用150万元购置原料，已知A，B原料每吨单价为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多？（）

五、计算，其中D是由直线与抛物线所围成的闭区域．（）

六、计算二重积分，为圆所包围的第一象限中的区域．（）

七、计算三重积分，其中为三个坐标面几平面所围成的闭区域．（）

期末考试试卷5(6学时)
一、填空题（6=2）：
1、已知和则与平行的单位向量为 .
2、函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 ．
3、级数的和为 ．
4、幂级数的收敛半径= .
5、微分方程的特解形式可设为 ．
6、设积分区域，则___________ ．
二、选择题（＝）：
1、方程在空间直角坐标系中表示的图形是 （ ）．
（A）原点； （B）圆；
（C）圆柱面； （D）直线．
2、设可微，则 （ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
3、下列级数中，收敛的级数是 （ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4、函数驻点个数为 （ ）．
（A）6； （B）5； （C）4； （D）3．
三、计算题（=36'）：
1、求通过轴和点（4，-3，-1）的平面方程；

2、已知，求；

3、设，求，；

4、求微分方程的通解；

5、求微分方程满足初始条件的特解；

6、将函数在处展开成幂级数 ．

四、从斜边之长为的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形．（）

五、计算累次积分．（）

六、求旋转抛物面与平面所围成的立体的体积V．（）

七、利用格林公式计算曲线积分：，其中为三顶点分别为，，的三角形的正向边界.（）

期末考试试卷6(6学时)
一、填空题（）：
1. 设点A,B，=，则= .
2. 球面方程的球心坐标为 ，球半径为 .
3. 曲面在点的切平面方程为 .
4. 设，则grad= .
5. 设，则全微分 .
6. 设L是抛物线上点与点B）之间的一段弧，则= .
7. 幂级数的收敛半径 .
8 的特解可设为 .
二、选择题（）：
1.下列三元数组中，可作为向量的方向余弦的是 （ ）.
； ； ； .

2.设，则 （ ）.
； ； ； .
3.幂级数的收敛域为 （ ）.
； ； ； .
4.二元函数在点处的两个偏导数与存在是函数在该点处可微的 （ ）.
充分而非必要条件； 必要而非充分条件；
充分必要条件； 既非充分又必要条件.

5.连续，更换积分次序= （ ）.
； ；
； .
三、（）求点在平面上的投影.
四、（）设，其中具有二阶连续偏导数，求

五、（）求函数的极值.

六、（）求微分方程满足初始条件的特解.

七、（）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.

八、求下列积分：
1.（）计算二重积分，其中D由圆及与所围成的第一象限区域.

2. 计算曲线积分，其中是以、、为顶点的三角形边界，沿逆时针方向.
九、应用题：
求由曲面和围成的立体的体积.

期末考试试卷7(6学时)
一、选择题（：
1. 直线与平面所成的角为 （ ）.
0.
2. 点是函数的驻点，有连续的二阶偏导数，
则在取得极小值的充分条件是
（ ）.
，； ，；
，； ，.
3. 曲面在点（1，-1，1）处的切平面方程为 （ ）.
；

4. 一阶微分方程是 （ ）.
可分离变量的微分方程； 齐次方程；
齐次线性微分方程； 非齐次线性微分方程.
5. 级数（为不等于零的常数） （ ）.
绝对收敛； 发散； 条件收敛； 敛散性与有关.
二、填空题：
1.设平行四边形两邻边为，则该平行四边形的面积为 .
2.曲面与平面的交线在面上的投影曲线方程为 .
3. 设，则在处，
= .
4 改变二次积分的积分次序= .
5. 设L是由围成的区域的正的边界，则=
.
6. 微分方程的通解为 .
7 已知微分方程的特征方程的两个根，则该微分方程为
.
8 在内，幂级数的和函数为 .

三、已知平面经过两点且垂直于给定的平面，求平面的方程.

四、已知且具有二阶连续偏导数，求

五、解方程

六、（1） 设区域D由抛物线及直线围成，求D的面积A.
（2）计算，其中D由圆周围成的区域.

七、求幂级数的收敛半径和收敛区间.

八、 造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价每[平方米为18元，侧面造价为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选择长方体水槽的尺寸，才能使水槽的容积最大？

期末考试试卷8(6学时)
一、填空题（）：
1 .
2 设都是单位向量，且满足，则 .
3 ，则 .
4 设L是曲线上从点到的一段弧，则= .
5 幂级数的收敛区间为 .
6 函数在点的梯度为 .
7 交换积分次序：= .
8 方程的通解为 .
二、选择题（）：
1. 曲线在面上的投影曲线是 （ ）.

； . .
2. 二元函数在点处成立的关系是 （ ）.
可微（指全微分存在）可导（偏导数存在）连续；
可微可导连续；
可微可导且可微连续，但可导不一定连续；
可导连续， 但可导不一定可微.
3. 设曲线L是从点到的直线段，则 （ ）.
； 0； 2； .
4. 微分方程具有以下形式的特解 （ ）.
； ； ； .
5. 下列级数中收敛的是 （ ）.
； ； ； .
三、求过直线和点（0，0，0）的平面方程.

四、求

五、求在约束条件下的极值.

六、计算，D是由，围成的区域.

七、计算，其中是由曲面及围成的闭区域.

八、将函数展开成的幂级数.

九、求微分方程满足初始条件的特解.

期末考试试卷9(6学时)
一、选择题（）：
1 在空间直角坐标系下，方程的图形表示 （ ）.
通过原点的直线； 垂直于轴的直线；
垂直于轴的平面； 通过于轴的平面.
2 设是由方程确定的函数，则 （ ）.
； ； ； .
3. 设L是D：的正向边界，则 （ ）.
1； 2； 3； 0.
4. 交错级数 （ ）.
绝对收敛； 发散； 条件收敛； 可能收敛，可能发散.

5 下列微分方程中可分离变量的方程的是 （ ）.
； ；
；
二、填空题（）：
1 已知两点，间的距离为17，则 .
2. 设，在点处，= .
3. 设函数，则的驻点为 .
4. D是由围成，则化成极坐标下的累次积分为
.
5 微分方程的通解为 .
6 幂级数的收敛区间为 .
7设区域D：，则二重积分= .
8 幂级数在区间的和函数为 .
三、 用拉格朗日乘数法求周长为20的矩形面积最大的一个.

四、设，求

五、 求旋转抛物面在点的切平面及法线方程.

六、计算，其中D是直线围成的图形.

七、 求幂级数的收敛区间，并求其和函数.

八、 解微分方程通解.

九、 计算积分，其中为平面和坐标面所围成的第一卦限内的闭区域.

期末考试试卷10(6学时)
一、填空：
1.直线和直线之间的夹角= .
2 函数在点沿向量的方向导数 .
3. 设则 .
4. 计算，其中L是抛物线上点到点的一段弧 .
5. 改变二次积分的积分次序：= .
6. 已知级数的前项部分和，则= .
7. 函数展开成的幂级数是 .
8 微分方程的特解为 .
二、选择题：
1. 已知为的一个解，则 （ ）.
； 1； ； 2.
2. 曲面在点处的切平面方程为 （ ）.
； ；
； .
3. 二元函数在点处存在偏导数是在该点连续的 （ ）.
充分必要条件； 充分而不必要的条件；
必要而不充分的条件； 既不充分也不必要的条件.
4. 设区域D由围成，化成极坐标下的累次积分为（ ）
； ；

； .
5. 下列级数中，绝对收敛的是 （ ）.
； ；
； .
三、（1）设，其中具有二阶连续偏导数，求.
（2）求幂级数的收敛域．

四、 将函数展开成的幂级数.

五、求的通解及满足初始条件的特解.

六、判定级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛.

七、用铁板制作一个容积为3的无盖长方体水箱，问当水箱的长、宽、高分别为多少米时用料最省？

八、 求由曲面所围成的立体的体积.

九、 计算曲线积分，其中L为有向折线ABO，其中A，B，O三点依次为，方向.

期末考试试卷11(6学时)
一、选择题（3'×5=15'）：
1. 母线平行于轴的柱面方程是 ( )．
(A) ； (B) ； 　
(C) ； (D) ．
2. 函数在点处 ( )．
(A) 有极小值； (B) 有极大值； 　
(C) 无极值； (D) 是否有极值无法判断．
3. 当 时，则围成区域的是 ( )．
(A) 轴，轴及； (B)及； 　 　
(C) ； (D) ．
4. 设级数收敛，则级数 ( )．
(A) 必收敛，且收敛于的和； (B) 不一定收敛； 　 　
(C) 必收敛，但不一定收敛于的和； (D) 一定发散．
5. 微分方程的通解为 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
二、填空题（4'×6=24'）：
1. 函数的驻点为 。
2. 平面和面的夹角为 。
3. 设且可微，则 。
4. 设与平行，且，则 ．
5. 若幂级数在处条件收敛，则该级数的收敛半径 ．
6. 微分方程的通解是 。
三、计算题（7'）：
1. 设是由方程所确定的隐函数，求

2. 求微分方程满足初始条件的特解.

3. 求幂级数的和函数.

4. 选择适当的坐标系，计算二重积分，由与坐标轴围成的第一象限的部分。

四、(7')已知，求证：。

五、(8')求过点且与直线：垂直相交的直线的方程。

六、(8')计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.

七、1.(5') 证明曲线积分在面上与路径无关；
2. (5')计算为抛物线上由点到的一段弧时的积分值。

期末考试试卷12(6学时)
一、选择题（3'×5=15'）：
1. 设，且，则 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　(C) 2； (D) ．
2. 函数在偏导存在与可微的关系是 ( )．
(A) 偏导存在一定可微； (B) 可微则偏导未必存在； 　 　
(C) 偏导存在一定不可微； (D) 可微则偏导一定存在．
3. 二次积分交换积分次序后可以化为 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
4.微分方程是 ( )．
(A) 可分离变量的微分方程； (B) 齐次方程； 　 　
(C) 一阶线性微分方程； (D) 二阶微分方程．
5. 设级数收敛，其和为，则的和为 ( )．
(A) 1 ； (B) ； (C) ； (D) ．
二、填空题（4'×6=24'）：
1.设是围成的平面区域，将二重积分化成先对，后对积分的二次积分为 ．
2.直线与直线的夹角为 ．
3. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 ．
4. 微分方程的通解是 ．
5. 是数项级数收敛的 条件．
6. 设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 .
三、计算题：
1. (6')已知,求.

2. (6')求过点，和的平面的方程．

3. (6')设具有连续偏导数，且，求全微分 ．

4. (6')讨论级数的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛．

5.(7')设是由所围成的平面区域，又二重积分，求的值．

6. (7')求幂级数的收敛半径和收敛域．

7. (7')求微分方程满足初始条件的特解．

四、应用题：
1. (8')在抛物线求一点，使其到直线的距离最短．
2. (8')求由旋转抛物面与平面围成的空间立体的体积．

期末考试试卷13(6学时)

一、选择题（3'×5=15'）：
1. 方程表示旋转曲面，它的旋转轴是 ( )．
(A) 轴； (B) 轴； 　 (C) 轴； (D) 轴或轴．
2. 已知的两个偏导数存在，且，则 ( )．
(A) 当不变时，随的增加而减少；
(B) 当不变时，随的增加而增加； 　 　
(C) 当不变时，随的增加而增加；
(D) 上述论断均不正确．
3. 下列级数中，绝对收敛的级数是 ( )．
(A) ； (B) ； 　　
(C) ； (D) ．
4. 下列各式中是二阶微分方程的是 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
5. 设区域,函数在闭区间上连续，则 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
二、填空题（4'×8=32'）：
1. 设且，则 ．
2. 已知两点和，则与方向相同的单位向量为 ．
3. 当满足 时，级数收敛．
4. L为曲线一周，则 ．
5. 当 时，级数条件收敛．
6. 微分方程的通解是 ．
7. 设，则 ．
8. 设是由所围成的平面区域，则二重积分 ．
三、计算题：
1．(7') 求过点且与两平面都垂直的平面方程．

2．(6')设，求.

3．(6')设方程确定隐函数，求全微分．

4．(6') 将函数展开的幂级数，并指出展开式成立的区间．

5．(7') 求微分方程的通解．

四、(7') 设是平面上由和所围成的有界区域，试求二重积分．

五、(7') 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的区域．

六、(7')在周长为常数的一切矩形中，求面积最大的矩形．

期末考试试卷14(6学时)
一、选择题（3'×5=15'）：
1. ( )．
(A) 0； (B) 3； 　 　(C) 6； (D) ．
2.曲面与平面的交线在面上的投影曲线方程为
( )．
(A) ； (B) ； 　
(C) ； (D) ．
3. 交换积分次序后为 ( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
4.设微分方程的特征方程的根为，则此方程的通( )．
(A) ； (B) ； 　 　
(C) ； (D) ．
5. 设幂函数在处收敛，则此级数在处 ( )．
(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； 　(C) 发散； (D) 收敛性不能确定．
二、填空题（4'×7=28'）：
1. 设，则 ．
2. 已知点，则上的投影 ．
3. 函数在点处沿的方向导数等于_______．
4. 曲线在点处的切线方程为________________．
5. 当满足 时，级数绝对收敛．
6. 设是由围成的平面区域，将二重积分化成极坐标系下的二次积分： ．
7. 微分方程的通解是 ．
三、计算题：
1. (6') 求过且与两平面和平行的直线方程．

2. (6') 求函数的极值点及极值．

3. (6') 设是由方程所确定的隐函数，求．

4. (6')