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初三数学竞赛选拔试题
（本卷满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题5分、共40分）
1、如果多项式，则的最小值是（ ）
(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 2008
2、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ).
(A) (B) (C) (D)
3、方程的所有整数解的个数是（ ）
（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
4、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，
△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（ ）
（A）21 （B）22 （C）25 （D）26
5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。
（A）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2
6、已知一组正数的方差为：，则关于数据的说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S2。其中正确的说法是（ ）
(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ （D）③④
7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ( )
(A) 7 2° （B）108°或14 4° （C）144° （D） 7 2°或144°
8、如图，已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切．若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a、b、c(0<c<a<b)，则a、b、c一定满足的关系式为 ( )
（A）2b=a+c （B）
（C） (D)
二、填空题（每小题5分，共30分）
9、已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________
A
B
C
G
F
E
D

10、如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交
AD,AC于E,F.若，那么等于 .

11、已知二次函数的图象与轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+1．其中正确的结论是_____________．(填写序号)

12、如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，
若=8，则AB等于 ．
13、某商铺专营A，B两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=，yB=。如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为___________ 万元。
14、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是 ．

三、解答题（第15、16、17题各12分，第18题14分，共50分）
15、三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积
(1)若1≤n≤30,且n是整数,则这样的n有多少个?
(2)当n≤2005时,求最大整数n

16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），
以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？

17、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。

18、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C.
（1）如图18-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；
（2）如图18-2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；
（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用、、表示，并直接写出答案）.
图18-2
A1
A2
A3
B1
B2
B3
O
x
y
C
图18-1
A1
A2
A3
B1
B2
B3
O
x
y
C

（参考答案）
一、选择题：1、A 2、C 3、B 4、C 5、B 6、B 7、D提示：如图，有且只有右边两种情况，

8、D
二、填空题：9、95；设方程的两个根为x,x,则x+x=a, xx=b
∴xx-(x+x)=b-a=2005 ∴(x-1) (x-1)=2006=2×17×59
因为59为质数，故x-1, x-1中必有一个是59的倍数，取x-1=34, x-1=59，则x+x=95，∴a的最小值为95； 10、；11、①②③；12、4；13、1.75；14、或；
三、解答题：
15、解：（1）x2－x－2n=(x－------------ (2分)
则应有1+8n=9，25，49，81，121，169-----------------------------------------（4分）
相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）……
故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个--------------------------------（6分）
（2）观察数列1，3，6，10，……发现
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4…… ------------------------（8分）
故n=1+2+3+……+k≤2005
∴≤2005
验证得当k=62时，n取最大值为1953---------------------------------------（12分）

16、解：设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则
---------------------------------------------（6分）
∴ ， 解得 ． -------------------（8分）
∵ S为正整数，∴ S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车
辆．此时，6+=11.5（时）
答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．--------------------------（12分）

17、解：不妨设△ABC中∠B=36°.
（1）若剖分线不过点B。不妨设剖分线为AD，此时，△BAD是（36°，36°，108°）或者（36°，72°，72°）的三角形。若△BAD是（36°，36°，108°）的三角形，则△CAD或者是（144°，18°，18°）(如图1)，或者是（72°，54°，54°）(如图2)，或者是（36°，72°，72°）（如图3、4）。
-------------------（6分）
（2）若剖分线过点B。不妨设剖分线为BE，那么，△ABE必定是（132°，24°，24°），△CBE是（156°，12°，12°）的三角形（如图5）。

所以，原三角形的最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°。----------（12分）

18、解：（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=，A2B2=，A3B3=.
设直线A1A3的解析式为y=kx+b. ∴ 解得
∴直线A1A3的解析式为 .
∴CB2=2× . ∴CA2=CB2-A2B2=.
方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=，A2B2=，A3B3= .
由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=(A1B1+A3B3)= .
∴CA2=CB2-A2B2= . ---------------------------------------------（4分）
（2）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .
则A1B1=，A2B2=，A3B3=.
设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
∴ 解得
∴直线A1A3的解析式为 . --------------------------------(8分)
∴CB2= .
∴CA2=CB2-A2B2=. -----------------------------------（10分）
方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 .
则A1B1=，A2B2=，A3B3=
由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=(A1B1+A3B3)
= =
.∴CA2=CB2-A2B2=.
（3）当a＞0时，CA2=a；当a＜0时，CA2=-a. ---------------------------------（14分）