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(最终版)北师大版八年级上册数学复习知识点和例题相结合
北师大版数学八年级上册知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

例 如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC= （ ）.
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

例 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.
（A）6 （B）8.5 （C） （D）

2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

例 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形（C）等腰直角三角形（D）直角三角形

3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。

例 下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.
（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34 （D）9，40，41

第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类

正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等

例 下列命题中，正确的是（ ）。
A、两个无理数的和是无理数 B、两个无理数的积是实数
C、无理数是开方开不尽的数 D、两个有理数的商有可能是无理数

二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a= - b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

例 绝对值小于π的整数有__________。

3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意的双重非负性：
0

例 若x，y都是实数，且，则xy的值（ ）。
A、0 B、 C、2 D、不能确定

3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

例 ＝________，＝_________。

例 下列说法中，错误的是（ ）。
A、4的算术平方根是2 B、的平方根是±3
C、8的立方根是±2　　　　　　 　D、立方根等于-1的实数是-1

例 代数式，，,,中一定是正数的有（ ）。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

例 有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。
A、－1 B、1 C、0 D、±1

四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、性质：
（1）

（2）

（3） （）
（4） （）
3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

例 计算的值是（ ）。
A、1 B、±1 C、2 D、7

六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律

例 已知，求7（x＋y）－20的立方根。

例 若，求3x＋y的值。

第三章 位置的确定
一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。

例 点M在x轴的上侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A. （5,3） B. （－5,3）或（5,3） C. （3,5） D. （－3,5）或（3,5）

4、不同位置的点的坐标的特征
（1）各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
（2）坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点 P’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
点P与点P’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点P’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
(6)点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于

例 设点A（m，n）在x轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（ ）
A. m=0，n为一切数 B. m=0，n<0
C. m为一切数，n=0 D. m<0，n=0

例 在坐标轴上与点M（3，－4）距离等于5的点共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C.4个 D. 1个

例 如图，坐标平面内一点A（2，－1），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为
A．2 B． 3 C．4 D．5
_
P
_
y
_
x
_
A
_
O

例 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A．　　　B．　　C．4　　　D．6

三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标(x,y)的变化
图形的变化
x × a或 y × a
横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
x × a， y × a
放大（缩小）为原来的 a倍
x ×(-1)或 y ×(-1)
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×(-1)， y ×(-1)
关于原点成中心对称
x +a或 y+ a
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a， y+ a
沿 x 轴平移 a个单位，
再沿 y 轴平移 a个单位

例 在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（　　）
A、向右平移了3个单位长度 B、向左平移了3个单位长度
C、向上平移了3个单位长度 D、向下平移了3个单位长度

第四章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
例 函数y=的自变量的取值范围是(　)
A．x≥3 B．x＞3 C．x≠0且x≠3 D．x≠0
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y

0 x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0

y

0 x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

例 下列各点中，在函数y= -2x+5的图象上的是（ ）
（A）（0，―5） （B）（2，9） （C）（–2，–9） （D）（4，―3）

例 函数y= -5x+2与x轴的交点是 ，与y轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。

4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小

例 如果一次函数y=kx+b的图象不经过第一象限，那么（ ）
（A）k>0，b >0 （B）k>0，b <0 （C）k<0，b>0 （D）k<0，b <0

例 一次函数y=kx+6，y随x的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

例 下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
①②③④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
例 的图像经过点（-3，0）,则k= 。

例 已知函数y=(m2+2m)x+(2m－3)是x的一次函数，则常数m的值为(　)
A．－2 B．1 C．－2或－1 D．2或－1

例 已知，如果y是x的正比例函数,则m的值为( )
A.2 B.-2 C 2,-2 D.0

例 一次函数y=(m2－4)x+(1－m)和y=(m－1)x+m2－3的图象与y轴分别交于点P和点Q，若点P与点Q关于x轴对称，则m=______．

7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式，
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0），故当函数值为0时， 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b，只需确定它与x轴交点的横坐标值．

例 函数与的图像交于轴，则m= 。

例 一元一次方程0.5x+1=0的解是一次函数y=0.5x+1的图象与 的横坐标
第五章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入消元法 （2）加减消元法

例 已知是二元一次方程组的解，则的值为
A．1 B．－1 C． 2 D．3

例 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，则k的值为
A． B． C． D．

例 已知代数式与是同类项，那么的值分别是
A． B． C． D．

6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
二元一次方程组 的解可看作两个一次函数

和 的图象的交点。

当这两个函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
一．填空题
1、方程中含有＿个未知数，并且＿＿的次数是1，这样的方程是二元一次方程。
2、二元一次方程组的解题思想是＿＿＿＿＿＿，方法有＿＿＿，＿＿＿法。
3、将方程10－2（3-y）=3（2-x）变形，用含x的代数式表示y是＿＿＿＿＿。
4、已知3x2a+b－3－5y3a－2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=＿＿＿。
5、在公式s=v0t+at2中, 当t＝1时，s=13,当t=2时，s=42，则t=5时，s=_____。
6、解方程组时，可以__________将x项的系数化相等，还可以____________将y项的系 数化为互为相反数。
7、已知2x3m-2n+2ym+n与x5y4n+1是同类项，则m=_____，n=_____。
8、写出2x+3y=12的所有非负整数解为_______________________________。
9、已知==,则a∶b∶c=_______________。
10、已知是方程2x－3y=1的解，则代数式的值为_____。
二．解答题
21、解下列方程组
1、用代入法解 2、用代入法解

第六章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）算术平均数：
一般地，对于个数我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记为。
例 某校举办演讲比赛，9位评委给1号选手的评分如下：9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4 8.8 9.0，按规定，去掉一个最高分和一个最低分后，将其余得分的平均数作为选手的最后得分．那么，1号选手的最后得分是 分．

（2）加权平均数：
一般来说，如果在个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里++…+=），那么这个数的平均数可以表示为
例 某校八年级八班在一次数学测验中，有2人得100分，4人得95分，2人得90分，6人得85分，4人得80分，6人得75分，5人得72分，5人得64分，4人得60分，4人得55分，2人得50分，6人得40分，则该班的数学成绩平均为 分。
3、众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

例 某养鱼专业户，在捕捞前，随意捞出10尾鱼，称得这10尾鱼的重量如下（单位：kg）：0.8，0.9，1.2，1.3，0.8，0.9，1.1，1.0，1.2，0.8，则这10尾鱼重量数的中位数是 ，众数是 ．

例 为筹备新年联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，在中位数、平均数、众数、加权平均数这些调查数据中最值得关注的是 。
第六章、数据分析
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为。
（2）加权平均数：
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
5、特别注意极差，方差和标准差的计算公式，以及这三个所能表示的实际意义！
6，要求学生会使用饼状图计算数据和计算数据。根据图形判断数据的聚散程度！！
第七章 、平行线的证明

1．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝80°，那么∠4＝__________.

2．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝__________.

3．如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝__________.

4．如果一个三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是__________三角形．
5．一个三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则与此对应的三个内角的比为__________．
6.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BFC＝__________.

7．“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________．
8．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__________．

9．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．
10．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是__________．

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