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柱体、锥体、台体的表面积
一、选择题
1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cm B．5cm
C．5cm D．cm
4．中心角为π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（ ）
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（a<b），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ）
A．3（b2－a2） B．2（b2－a2）
C．（b2－a2） D．（b2－a2）
6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A．1∶2∶3 B．1∶3∶5
C．1∶2∶4 D．1∶3∶9
7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶ D．7∶9
8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
9．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）
A．40 B． C． D．30
二、填空题
11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是______．
12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．
13．圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．
14．圆台的母线长是3 cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．
三、解答题
15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．
16．圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?
17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．
参考答案
一、选择题
1．C 设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意
2a2＋c2＝81①
2a2＋4ac2＝144 即a2＋2ac2＝72②
①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C．
2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D
8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr．
∴＝＝＝＝．
∴应选A．
9．A
10．B 可计算出直截面的周长为5＋，则S侧＝4（5＋）＝20（1＋）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□＋＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋）．
二、填空题
11．．
设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，·h＝N，
2（a＋b）h＝2·h＝·h＝．
12． 13．；60° 14．cm；cm，cm
三、解答题．
15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点．
则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC．
在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝，A1D1＝．
在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝（AD－A1D1）＝（a－x）．
则D1D＝2ED＝（a－x），由题意S＝3·．
即S＝（a2－x2）．解得x＝．
16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，
则＝，SO1＝·O1C＝，
∴OO1＝SO－SO1＝12－，则圆柱的全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－）x＋2πx2＝2π（12x－）．
当x＝cm时，S取到最大值cm2．
17．如图扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最知路程，由已知SA＝SA′＝3r，θ＝360°＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝．
柱体、锥体与台体的体积
一、选择题
1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．倍 D．2倍
2．一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32 cm2，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是（ ）
A、28cm B．32 cm C．36 cm D．40 cm
3．正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
5．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm2，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．正六棱锥的底面边长为a，体积为，那么侧棱与底面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（ ）
A、 B．
C、 D、
8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）
A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．3∶16
9．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（ ）
A．S3＞S2＞S1 B．S1＞S3＞S2
C．S1＞S2＞S3 D．S2＞Sl＞S3
10．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ）
A．1∶5 B．1∶23 C．1∶11 D．1∶47
二、填空题
11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．
12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．
13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．
14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．
三、解答题
15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．
16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．
17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．
18．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1ClDl的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B解：由已知
③代入①得b3＝8，b＝2，ac＝4，代入②a＋c＝6．
∴长方体棱长的和为4（a＋b＋c）＝4×8＝32（cm2）．
3．D 4．B 5．C 6．B
7．D 设正四棱锥的底面边长和高分别为a，h，斜高为h′，
则h′＝，S＝（4a）h′＝2a解得
h＝＝＝．
V＝h·Q＝（）Q＝．
8．C 9．B
10．D由E、F、G分别为BB1，B1C1，B1A1的中点，可证明平面EFG∥平面BC1A1，因此
＝＝（）3＝．
即＝＝·
＝（·）＝，
＝．
二、填空题．
11． 12．
13．；8 14．
15．三棱锥A－BCD中，AB＝6，设E为AB的中点，连结CE，DE，则CE⊥AB，DE⊥AB．
在直角△AED中，DE＝＝＝4．
同理CE＝4，F为CD中点，连接EF，则EF⊥CD，在Rt△DFE中，
EF＝＝＝．
∴S△CED＝．
VA－BCD＝VA－ECD＋VB－ECD＝AE·S△CED＋BE·S△CED
＝（AE＋BE）S△CDE＝×6×＝．
16．设正三棱台的高为h，
则斜高h′＝＝，
由已知＝（152＋102），解得h＝．
因此V＝·（·102＋·152＋）＝（cm3）．
别解：设上、下底面面积分别是S1，S2（S1＜S2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S侧＝S1＋S2①．
又S侧cosα＝S2－S1②，
②÷①，cosα＝＝＝．
然后再求棱台的高和体积．
17．设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π（）2h．
根据题意，有πR2h＝π（）2h，解得R＝．
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得
＝，所以h＝．
18．解：＝A1D1·AA1＝．
D1B＝a，D1E＝BE＝＝＝．
等腰△EBD1的高为＝＝．
＝（）（）＝．
设A1到平面BED1的距离为h，而＝，
即·h＝·AB．
∴··h＝··a，解得h＝．
球的体积和表面积
一、选择题
1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D，8倍
2．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．2πc2
3．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（ ）
A． B． C．4π D．
4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍
5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）
A、1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）
A．4π B． C． D．π
7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm，两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）
A、cm B．cm C．cm D．cm
8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积为（ ）
A、π B．π C．4π D．π
9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）
A．S球＞S正方体 B．S球＝S正方体
C．S球＜S正方体 D．大小关系不确定
二、填空题
11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋V2＝_____V3．
12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l，则球的体积为_________．
13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高cm，则玻璃球的半径为__________．
14．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．
15．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积之比为______．
16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm，“大球”的外径为40 mm，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．
三、解答题
17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球？
18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大?
19．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．
20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C
二、填空题
11．
提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．
12．36π
设球的半径为R，由题意得－＝1，
∴R＝3，∴V球＝＝36π．
13．4cm 14． 15．Q∶4πR2 16．361∶400
三、解答题
17．设球半径为R，则＝，∴R＝．而正三棱柱底面内切圆半径r＝，比较R与r的大小，R6＝＝＝·，r6＝＝＝·，
∴R6＞r6，∴R＞r，所以不能放进一个体积为的小球．
18．解：如图，设球半径为Rcm，切下的较小部分圆面半径为15cm，∴OO′＝R－5．
Rt△OO′A中，R2－（R－5）2＝15，
∴R=25（cm）．
V＝＝＝（cm3）．
19．设球半径为R，三棱锥A－BCD表面积为S，则V三棱锥＝．取CD中点M，连结AM、BM．
∵AC＝AD＝5，∴CD⊥AM．
同理CD⊥BM，∴CD⊥平面ABM，
∴V三棱锥＝（CM＋MD），S△AMB＝2S△AMB．
∵AM＝BM＝4，取AB中点N，连结MN，
则MN⊥AB，且MN＝＝，
∴S△ABM＝，∴V三棱锥＝．
又三棱锥每个面面积和都为12，
∴S＝4×12＝48，∴V三棱锥＝＝16R．
20．解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，
∵4πR2＝324π，∴R＝9，
∴142＋（）2＝182，∴a2＝64，∴a＝8．
∴S四棱柱＝2a2＋4a·14＝64×2＋32×14＝576．
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