资源描述
选修2-2 知识点及习题答案解析
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，即=
2. 导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即
3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若(c为常数)，则； 2 若,则;
3 若,则 4 若,则;
5 若,则 6 若,则
7 若,则 8 若,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内
(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数在上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数在内的极值；
（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设则
（1） （2） （3）
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若为虚数,则
3.运算律
(1) ;(2) ;(3)
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
练习一组
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx( )
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不等于零
[答案] D
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.
3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
[答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
[答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝＝＝2.3，故应选B.
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0，
∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴＝－2－Δx，故应选B.
6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
[答案] C
[解析] ＝
＝＝2＋Δx.故应选C.
7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
[答案] A
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
∴平均速度＝＝＝6.3，故应选A.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
10．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2，故应选C.
二、填空题
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] ＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
[答案] －
[解析] ＝＝－＝－.
13．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．
[答案] －2
[解析] ＝＝＝－2.
14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率
k1＝＝＝＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝＝＝4.1.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝－2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为
＝－2.
16．过曲线f(x)＝的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝时割线的斜率．
[解析] 割线AB的斜率k＝＝
＝＝＝－.
17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x＝2附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
对任意Δx有，k1＜k2＜k3，
∴在x＝3附近的平均变化率最大．
18．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，
则＝，
即＝，所以y＝f(x)＝x.
(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.
所以＝＝.
即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.
练习二组
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.
2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] B
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32
＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.
当Δt→0时，→18，故应选B.
3．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2
∴＝2＋Δx
当Δx→0时，→2
∴f′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( )
A．37 B．38
C．39 D．40
[答案] D
[解析] ∵＝＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝li ＝li (40＋4Δt)＝40.故应选D.
5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B.＝叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.
6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )
A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
B．f′(x0)＝li[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f′(x0)＝
D．f′(x0)＝li
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.
7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )
A．4a B．2a＋b
C．b D．4a＋b
[答案] D
[解析] ∵＝
＝4a＋b＋aΔx，
∴y′|x＝2＝li ＝li (4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
[答案] D
[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )
A．0 B．3
C．－2 D．3－2t
[答案] B
[解析] ∵＝＝3－Δt，
∴s′(0)＝li ＝3.故应选B.
10．设f(x)＝，则li 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] C
[解析] li ＝li
＝li ＝－li ＝－.
二、填空题
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
li＝________；
li ＝________.
[答案] －11，－
[解析] li
＝－li ＝－f′(x0)＝－11；
li ＝－li
＝－f′(x0)＝－.
12．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy＝－
＝Δx－1＋＝，
∴＝.∴y′|x＝1＝li ＝0.
13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．
[答案] 2
[解析] ∵＝＝a，
∴f′(1)＝li ＝a.∴a＝2.
14．已知f′(x0)＝li ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是________．
[答案] 8
[解析] li ＝li
＋li .
由于f(3)＝2，上式可化为
li －3li ＝2－3×(－2)＝8.
三、解答题
15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
[解析] 由导数定义有f′(x0)
＝li
＝li ＝li ＝2x0，
16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 位移公式为s＝at2
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2
∴＝at0＋aΔt，
∴li ＝li ＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
∴at0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17． 在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，
求(1)
(2)f′(1)．
[解析] (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝
＝ (2＋Δx)＝2.
18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f(x)＝
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)
＝
∴ ＝ (1＋Δx)＝1，
＝ (－1－Δx)＝－1，
∵ ≠ ，∴Δx→0时，无极限．
∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)
练习三组
1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故应选B.
2．曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B.
C.π D．－
[答案] B
[解析] ∵y′＝li
＝li (x＋Δx)＝x
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
[答案] D
[解析] 易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.
4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.
由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
5．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] ＝
＝－1，即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.
8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，
∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，
∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，
∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，
故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.
9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )
A.∪ B.∪
C. D.
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，
∵f′(x)＝li
＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，
∴tanα＝3x－≥－.
∴α∈∪.故应选A.
10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )
A．[－1，－] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－1＝0
[解析] ∵f(x)＝x2＋3，x0＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2
∴＝4＋Δx.∴li ＝4.即f′(2)＝4.
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)
即4x－y－1＝0.
12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
[答案] y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
[解析] 由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
∵f′(x)＝li
＝li ＝1＋.
∴切线的斜率k＝1＋＝2.
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．
[答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
[答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．
设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.
三、解答题
15．求曲线y＝－上一点P处的切线方程．
[解析] ∴y′＝
＝
＝ ＝－－ .
∴y′|x＝4＝－－＝－，
∴曲线在点P处的切线方程为：
y＋＝－(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
[解析] (1)y′＝li ＝3x2－3.
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k1＝f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，
∴直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
故所求直线斜率k＝3x－3＝－，
于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.
17．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
[解析] y′＝li
＝li
＝li
＝li
＝＝1－＜1，
∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
[解析] (1)y′|x＝1
＝li ＝3，
所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
y′|x＝b＝li
＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－.
(2)由得
即l1与l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，.
所以所求三角形面积S＝××＝.
练习三组
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
[答案] D
2.曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
[答案] B
[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.
3.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
4.设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
5．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
6.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数
∴f′(x)＝0，故应选A.
7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.R D.R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当0<h<R时，V′>0；当<h<2R时，V′<0.
因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C.
8.．和式(yi＋1)可表示为( )
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案] C
[解析] (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.
9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值( )
A．小于零 B．等于零
C．大于零 D．不能确定
[答案] B
[解析] f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
10.．设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C.
11.．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
[答案] C
[解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
12已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )
A．1个
B．2个
C．多于两个
D．不能确定
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，
令3x2＝1，得x＝±，
即切点坐标为或.
由点斜式可得切线方程为y－＝x－或y＋＝x＋，即y＝x－或y＝x＋.故应选B.
13.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
14.关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.
15.下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
[答案] B
[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.
16.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
17.证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1
∴ex－>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
[答案] A
[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.
18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
19.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3
D．1＋＋＋＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
20.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．以上都不是
[答案] B
[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B.
21.．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[答案] D
[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
22.i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
[答案] A
[解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
23.．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>0，b<0
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案] D
[解析] 复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.
24.i是虚数单位，＝( )
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
[答案] B
[解析] ＝
＝＝＋i，故选B.
25.复数z是实数的充分而不必要条件为( )
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
[答案] A
[解析] 由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故|z|＝z是z为实数的充分不必要条件，故选A.
26.．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[答案] A
[解析] 考查复数代数形式的运算．
i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
27.复数2＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
[答案] A
[解析] 2＝＝－3－4i.
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