甘肃省2014届高三下学期一诊考试数学理试题Word版含答案.doc

甘肃省2014届高三下学期一诊考试
数学（理）试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合A= ，B= ，A∩B等于
A. (2, 5） B. [2, 5） C. {2, 3, 4} D. {3, 4, 5}
2. 复数（是虚数单位）化简的结果是
A. 1 B. -1
C. D. –
3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ,
则正视图中的值是
A. 2 B.
C. D. 3
4. 从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M，
则点M取自阴影部分的概率为
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列的前n 项和为Sn , 若，则S8=
A.72 B. 68
C. 54 D. 90
6. 阅读右侧程序框图，输出结果的值为
A. 5
B. 6
C.7
D. 9
7. 设 ，则
A. B.
C. D.
8. 已知点P满足线性约束条件,点M(3，1)，O为坐标原点，则·的最大值为
A. 12 B. 11 C. 3 D. -1

9. 若 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项的值是
A. -84 B. 84 C. -36 D. 36
10. 已知双曲线的两条渐近线均与圆C：相切，则该双曲线离心率等于
A. B. C. D.
11. 定义在R上的偶函数满足,且在区间(2013,2014)上单调，已知a，b是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是
A. B.
C. D. 以上情况均有可能
12. 设是定义在R上的函数， 都有，且当时，, 若函数在区间（-1,2014]内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是
A. (, )∪(, ) B. (0, )∪( , +∞)
C. (, 1 )∪(1, ) D. ( , )∪(, )
二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知函数 ，则=______.
14. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ＞c+1)= P(ξ＞c-1),则c= ____ _.
15.已知数列满足则的最小值 ______.
16.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA=2 ,AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为___ __.
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分）
在DABC中，三个内角A、B、C 的对边分别为, 若
（Ⅰ）求证：成等差数列；
（Ⅱ）若∠B=60°，b=4, 求DABC的面积.

18.(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.
若PA=AB=BC=AD.
（I）求证：CD⊥PC；
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

19. (本小题满分12分）
某校高二年级进行社会实践，对[25, 55]岁的人群随机抽取n个人进行了一次是否开通“微信”， 若开通“微信”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表，如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
时尚族的人数
占本组的频率数
第一组
[25，30）
120
0.6
第二组
[30，35）
195
p
第三组
[35，40）
100
0.5
第四组
[40，45）
a
0.4
第五组
[45，50）
30
0.3
第六组
[50，55）
15
0.3
请完成以下问题：
（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值
（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络“时尚达人”大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（X）
20. (本小题满分12分）
如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与=(, -1)共线.
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使·＜0，求实数m
的取值范围．

21. (本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
(I)求实数的值；
(II)若关于的方程在区间[0, 2] 上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式都成立.

请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC， M为AO上一点，BM的延长线交圆O于点N, 过N点的切线交CA的延长线于P．
（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为2 ，OA=OM，求MN的长．.

23. (本小题满分10分) 选修4―4:坐标系与参数方程
已知直线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极值为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：
(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程；
(II)若直线与曲线C相交于A，B 两点，且AB= ，试求实数m的值．

24. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲
已知函数.
(I)当时，求函数的定义域；
(II)若函数的定义域为R，求实数的取值范围.