高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则练习.doc

1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
[A　基础达标]
1．给出下列结论：
①(sin x)′＝cos x；
②若f(x)＝，则f′(3)＝－；
③(ex)′＝ex；
④(log4x)′＝.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.因为(sin x)′＝cos x，所以①正确；f′(x)＝＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，所以②正确；因为(ex)′＝ex，所以③正确；因为(log4x)′＝，所以④正确．
2．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
解析：选C.因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.
3．过曲线y＝cos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为(　　)
A．2x－y－＋＝0
B.x＋2y－－1＝0
C．2x＋y－＋＝0
D.x＋2y－＋1＝0
解析：选A.因为y＝cos x，所以y′＝－sin x，曲线在点P处的切线斜率是y′|x＝＝－sin＝－，所以过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，所以所求的直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B.由题意得xn＝，
则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
5．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
解析：选D.因为y＝2sincos＝sin x，所以y′＝cos x，设P(x0，y0)．由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0，所以－1≤tan α≤1.因为0≤α＜π，所以α∈∪，故选D.
6．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝________．
解析：f(x)＝，所以f′(x)＝－，
f′(a)－f(a)＝－－＝－2.
即2a2－a－1＝0，
解得a＝1或a＝－.
答案：1或－
7．曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
解析：因为y′＝3x2.所以切线的斜率为y′|x＝1＝3×12＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－1)，与x轴的交点为，与直线x＝2的交点为(2，4)．所以S＝××4＝.
答案：
8．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
解析：设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，
所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝－.由题意可得g′(xP)＝－1，
解得xP＝1.
所以P(1，1)．
答案：(1，1)
9．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．
解：因为y＝，所以y′＝()′＝′＝x－.所以f′(8)＝×8－＝，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.
因为y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，
得y0＝1，即P(0，1)．
利用点到直线的距离公式得距离为.
[B　能力提升]
11．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
解析：选A.设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.
12．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________．
解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.
答案：－sin x
13．若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值．
解：由题意，得f′(x)＝－2x－3，
所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，
令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝.
所以×3a－2×a＝3，
解得a＝.
所以loga＝2.
14．(选做题)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处切线的斜率分别为k1＝y′1|x＝x0＝cos x0，k2＝y′2|x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．