100所名校高考模拟金典卷(五)理科数学.doc

100所名校高考模拟金典卷（五）理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式：
样本数据的标准差

其中为样本平均数
柱体体积公式
其中为底面面积，为高
锥体体积公式

其中为底面面积，为高
球的表面积，体积公式
，
其中为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，若集合，集合，则等于
A． B． C． D．
2．已知复数和复数，则为
A． B． C． D．
3．执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为
A． B． C． D．
4．给定性质：①最小正周期为；②图像关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是
A． B．
C． D．
正视图
（1）
俯视图
5．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是

A． B． C． D．
6．设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称，对于中的任意一点与中的任意一点，的最小值等于
A． B．4 C． D．2
7．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有
A．11种 B．20种
C．21种 D．12种
8．设、为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量，，，则该双曲线的离心率等于
A．2 B． C．2或 D．2或
9．下列说法正确的是
A．命题：“已知函数，若与均为奇函数，则为奇函数”为真命题
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若“且”为假命题，则均为假命题
D．命题“，使得”，则“，均有”
10．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20的铁丝接成的底面为正方形的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为
A． B． C． D．
11．已知向量满足，，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知是定义在上的可导函数，对任意都有，且，则当时，与的大小关系是
A． B． C． D．不能确定

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．天气预报说，在今后的三天中每天下雨的概率均为40％，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0～9之间随机整数的20组如下：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为 ．
14．设，则二项式的展开式中的常数项是 ．
15．在△中，角、、所对应的边分别为、、，且，则的最大值为 ．
16．在平面直角坐标系中，设直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，若点在圆上，则实数＝ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知数列中，（是不等于0的常数），为数列的前项和，若对任意的正整数都有．
证明：数列为等差数列．
18．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
PM2.5（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组

4
0.1
第二组

12
0.3
第三组

8
0.2
第四组

8
0.2
第五组

4
0.1
第六组

4
0.1
（1）估计出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本 的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．
A
C
D
B
B1
C1
19．（本小题满分12分）如图，在五面体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，二面角为直二面角．
（1）在上运动，当在何处时，有∥平面，并且说明理由；
y
x
M
Q
N
T
O
P
（2）当∥平面时，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，．设、是椭圆上关于轴对称的不同两点，直线与相交于点，求证：点在椭圆上．
21．（本小题满分12分）函数，其中为自然对数的底．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，判断函数在区间上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
A
B
G
D
F
C
E
·O
·M
如图，已知与相交于、两点，为的直径，直线交于点，点为弧的中点，连结分别交、于点、，连结．
（1）求证：；
（2）求证：．

23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．设点为坐标原点，直线（参数）与曲线的极坐标方程为．
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点，证明：．
24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

数学试题参考答案
一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力
题号
１
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．

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