热力学统计物理-第四版答案.doc

热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案
第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。
解：已知理想气体的物态方程为
　 （1）
由此易得
　 （2）
　 （3）
　 　 （4）

1.8 满足的过程称为多方过程，其中常数名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量为

解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
　　　 （1）
对于理想气体，内能U只是温度T的函数，

所以
　　 （2）
将多方过程的过程方程式与理想气体的物态方程联立，消去压强可得
（常量）。 　　 （3）
将上式微分，有

所以
　 （4）
代入式（2），即得
　　　　　　　　　（5）
其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有
　　 （1）
对于准静态过程有

对理想气体有

气体在过程中吸收的热量为

因此式（1）可表为
　 （2）
用理想气体的物态方程除上式，并注意可得
（3）
将理想气体的物态方程全式求微分，有
　 （4）
式（3）与式（4）联立，消去，有
（5）
令，可将式（5）表为
　　 （6）
如果和都是常量，将上式积分即得
（常量）。 　　 （7）
式（7）表明，过程是多方过程。

1.12 假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为

解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
（1）
用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得
　 （2）
利用式（1.7.8）和（1.7.9），

可将式（2）改定为
（3）
将上式积分，如果是温度的函数，定义
　　 （4）
可得
（常量）， 　　 （5）
或
（常量）。 　 （6）
式（6）给出当是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程中，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有
。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。

第二章 均匀物质的热力学性质

2.2设一物质的物态方程具有以下形式：

试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
（1）
故有
（2）
但根据式（2.2.7），有
　 （3）
所以
　 （4）
这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.

2.3　求证：　　　
解：焓的全微分为
（1）
令，得
（2）
内能的全微分为
（3）
令，得
（4）

2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数和描述. 熵函数的全微分为

在可逆绝热过程中，故有
（1）
最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓的全微分为

在节流过程中，故有
（2）
最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.
将式（1）和式（2）相减，得
　 （3）
所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.

2.9　证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关.
解：根据习题2.8式（2）
（1）
范氏方程（式（1.3.12））可以表为
（2）
由于在V不变时范氏方程的p是T的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T的函数，与比体积无关.
不仅如此，根据2.8题式（3）
（3）
我们知道，时范氏气体趋于理想气体. 令上式的，式中的就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.
顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积与温度不呈线性关系. 根据2.8题式（5）
（2）
这意味着范氏气体的定压热容量是的函数.

第三章 单元系的相变
3.3　试由及证明及
解：式（2.2.12）给出
（1）
稳定性条件（3.1.14）给出
（2）
其中第二个不等式也可表为
（3）
故式（1）右方不可能取负值. 由此可知
（4）
第二步用了式（2）的第一式.
根据式（2.2.14），有
（5）
因为恒正，且，故
（6）
第二步用了式（2）的第二式.

3.4　求证：
（a）　　　　（b）
解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9））
　 （1）
及偏导数求导次序的可交换性，易得
　 （2）
这是开系的一个麦氏关系.
（a） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2））
　　 （3）
可得
　 （4）
这也是开系的一个麦氏关系.

3.5　求证：

解：自由能是以为自变量的特性函数，求对的偏导数（不变），有
（1）
但由自由能的全微分

可得
（2）
代入式（1），即有
　 （3）

第四章 多元系的复相平衡和化学平衡

4.1 若将看作独立变量的函数，试证明：
（a）
（b）
解：（a）多元系的内能是变量的一次齐函数. 根据欧勒定理（式（4.1.4）），有
（1）
式中偏导数的下标指全部个组元，指除组元外的其他全部组元.
（b）式（4.1.7）已给出

（2）
其中偏摩尔体积和偏摩尔内能. 将式（2）代入式（1），有
（3）
上式对的任意取值都成立，故有
（4）

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.1中 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

解: 式（6.2.13）给出，在体积内，在到到到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
（1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为
（2）
上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数.
自由粒子的能量动量关系为

因此

将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
（3）

第七章 玻耳兹曼统计

7.2 试根据公式证明，对于相对论粒子
,
有

上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
解: 处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
（1）
用指标表示量子数表示系统的体积，，可将上式简记为
（2）
其中

由此可得
（3）
代入压强公式，得
（4）
本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同.
式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.

7.10 气体以恒定速度沿方向作整体运动，求分子的平均平动能量.
解: 根据7.8题式（9），以恒定速度沿方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
（1）
分子平动量的平均值为

上式头两项积分后分别等于，第三项的积分等于

因此，
（2）
式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量及整体运动能量之和.
7.12 根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值
解: 根据麦克斯韦速度分布，分子1和分子2各自处在速度间隔和的概率为

（1）
上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以表示质心速度、表示相对速度，则

（2）
在的情形下，上式简化为

容易验明，两种描述给出的动能K相同，即
（3）
式中

分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在的情形下，有

根据积分变换公式
（4）
可以证明，所以式（1）也可表达为

（5）
其中相对速度的概率分布为
（6）
相对速率的分布为
（7）
相对速率的平均值为

（8）
式中是气体分子的平均速率.

7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为

其中是常量，求粒子的平均能量.
解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式中和两面三刀项都是的函数，不能直接将能量均分定理用于项而得
出的结论. 要通过配方将表达为
（1）
在式（1）中，仅第四项是的函数，又是平方项. 由能量均分定理知

（2）
第八章 玻色统计和费米统计

8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即

解: 对于理想费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））
（1）
取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））
（2）
另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为

（3）
其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））
（4）
由费米分布

易得
（5）
和
（6）
将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为
（7）
将式（6）和式（7）代入式（3），有

（8）
比较式（8）和式（2），知
（9）
对于理想玻色系统，证明是类似的.

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