初中数学竞赛标准教程及练习23：递推公式.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习(23)
递推公式
一、内容提要
1． 先看一例：a1=b,a2=,a3=……　an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。
例如: 若　a1=10, 则a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　
2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示
∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5
……　　　　∴an=a1+(n-1)5
如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105
3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。
二、例题
例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2)　　 求：a100的值
解：a100=a99+2×99
=a98+2×98+2×99
=……
=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99
=2+2×=9902
又解：a2=a1+2×1
a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2
a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3
……
a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99
=2+2(1+2+3+……+99)=9902
例2.已知：x1=97, 对于自然数n>1, xn=　 求：x1x2x3·……·x8的值
解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4
x5x6=x5=6 x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384
例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式
(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199
求：a1＋a2＋a3＋……＋a100
分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1=
可由a100求a99,a98……
解：a99===197
a98===195
用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1
∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199
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三、练习23
1. 已知　a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an
那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____
2. 若a1=2m, an=　则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___
3. n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an
4. 已知　a1=10, an+1=2an 求a10
5. 已知　f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)
6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, ……　xn+yn=an, xy=6, 则a2=a12－2b,
有递推公式an+1=a1an－ban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6
根据下列数据的特点，写出递推公式：
① a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　
② a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿
7. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。
8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。

练习23参考答案：
1.　2，3，5，8，13　　　　2.　　，2m, ，2m, 2
3. an=a1-3((n-1) 4. a10=29×10＝5120
5　f(10)=1+2+3+……＋9＝45　
6.　a3=a13-3a1b, ……a6=a16-6a14b+9a12b2-2b3
7. ①a n=a n-1+3, an+1=a1+3 ②a n=a n-1+n , a n-1=a n+(n+1)
8. f(n+1)=f(n)+n,
9.同上， f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,……f(n)=f(n-1)+n-1